Le pendule pesant de l'horloge comtoise

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 6 — Moment cinétique

Énoncé

Au cœur d'une horloge comtoise oscille un balancier : une tige homogène de masse $m = 0, 80 kg$ et de longueur $ℓ = 1, 0 m$ , articulée sans frottement autour d'un axe horizontal $(Δ)$ passant par son extrémité $O$ . On l'écarte d'un petit angle $θ$ et on la lâche. $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Où est le centre de gravité $G$ , et quel est le moment d'inertie $J$ de la tige par rapport à $(Δ)$ ?

Par le théorème du moment cinétique autour de $(Δ)$ , établir l'équation du mouvement.

En déduire l'équation des petites oscillations et la période $T_{0}$ .

Calculer $T_{0}$ . Comparer à un pendule simple de même longueur.

Corrigé

1. La tige étant homogène, $G$ est en son milieu, à $d = \frac{ℓ}{2} = 0, 50 m$ de l'axe. Le moment d'inertie d'une tige par rapport à une extrémité est $J = \frac{1}{3} m ℓ^{2} \approx 0, 27 kg m^{2}$ .

2. Seul le poids a un moment non nul (la réaction de l'axe a un bras de levier nul) : $M = - m g d sin θ$ . Le TMC autour de l'axe fixe donne $J θ ¨ = M$ , soit $J θ ¨ = - m g \frac{ℓ}{2} sin θ$ .

3. Petits angles ( $sin θ \approx θ$ ) : $θ ¨ + \frac{m g ℓ /2}{J} θ = 0$ , oscillations harmoniques. Avec $J = \frac{1}{3} m ℓ^{2}$ :

$T_{0} = 2 π \frac{J}{m g ℓ /2} = 2 π \frac{2 ℓ}{3 g} .$

4. $T_{0} = 2 π \frac{2 \times 1 , 0}{3 \times 9 , 81} \approx 1, 6 s$ . Un pendule simple de longueur $ℓ = 1, 0 m$ aurait $T = 2 π ℓ / g \approx 2, 0 s$ : la tige bat plus vite (longueur réduite $2 ℓ /3 \approx 0, 67 m$ ).

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