Le pendule sphérique : $L_z$ se conserve, ${\vec{L}}_O$ non

Un point $M$ de masse $m$ est suspendu à un fil inextensible de masse négligeable, de longueur $\ell =1,0\mathrm{m}$, fixé en $O$ ; il peut se déplacer dans toutes les directions (pendule sphérique). L'axe $Oz$ est vertical ascendant. On repère $M$ en coordonnées cylindriques $(\rho ,\phi ,z)$ d'axe $Oz$ ; $\theta$ est l'angle du fil avec la verticale descendante, de sorte que $\rho =\ell \sin \theta$ et $z=-\ell \cos \theta$.

1) Appliquer le théorème du moment cinétique en $O$. Montrer que $\frac{\mathrm{d}{\vec{L}}_O}{\mathrm{d}t}$ est horizontal : ${\vec{L}}_O$ n'est pas conservé, mais sa composante $L_z$ l'est. Retrouver ce résultat par les bras de levier des deux forces par rapport à l'axe $Oz$.

2) Exprimer $L_z$ en coordonnées cylindriques. On lance $M$ depuis ${\theta }_0=60°$ avec une vitesse horizontale et orthoradiale $v_0=2,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Montrer qu'aux angles extrêmes la vitesse est horizontale et orthoradiale, puis, avec l'énergie mécanique, établir l'équation donnant l'autre angle extrême ${\theta }_1$. La résoudre numériquement.

3) Montrer que, si $L_z\ne 0$, le point ne passe jamais à la verticale de $O$.

4) Pour quelle valeur de $v_0$ a-t-on ${\theta }_1={\theta }_0$ ? Reconnaître le pendule conique, et retrouver le résultat par le principe fondamental de la dynamique.