Le saut périlleux du plongeur

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 6 — Moment cinétique

Énoncé

Du haut d'un plongeoir de $10 m$ , une plongeuse s'élance. Dès qu'elle quitte la planche, elle est en chute libre : aucun moment extérieur autour de son centre de masse $G$ . Bras et jambes tendus, elle amorce sa rotation à $ω_{1} = 4, 0 rad / s$ avec $J_{1} = 15 kg m^{2}$ . Elle se met en position groupée, ramenant son moment d'inertie à $J_{2} = 6, 0 kg m^{2}$ .

Pourquoi le moment cinétique se conserve-t-il pendant le vol ?

Calculer sa nouvelle vitesse angulaire $ω_{2}$ .

La durée de vol est $Δ t = 1, 4 s$ , dont $1, 0 s$ groupée. Combien de tours complets effectue-t-elle alors ?

Que doit-elle faire pour ralentir sa rotation avant l'entrée dans l'eau ?

Corrigé

1. En vol, la seule force extérieure est le poids, appliqué en $G$ : son moment autour de $G$ est nul. Donc $L_{G}$ est constant : la plongeuse ne peut que redistribuer sa rotation, pas la créer.

2. $J_{1} ω_{1} = J_{2} ω_{2}$ donne $ω_{2} = \frac{J _{1}}{J _{2}} ω_{1} = \frac{15}{6 , 0} \times 4, 0 \approx 10 rad / s$ (vitesse $\times 2, 5$ ).

3. $N = \frac{ω _{2} Δ t _{group e ˊ}}{2 π} = \frac{10 \times 1 , 0}{2 π} \approx 1, 6$ tour : un saut périlleux et demi.

4. Il lui suffit de se dégrouper : en rétablissant $J_{1}$ , elle ramène $ω$ à $4, 0 rad / s$ et entre droite — manœuvre inverse, à moment cinétique toujours conservé.

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