Le tabouret de Joukovski : la danseuse improvisée

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 6 — Moment cinétique

Énoncé

Léa s'assoit sur un tabouret pivotant sans frottement, bras écartés, tenant un haltère de $2, 0 kg$ dans chaque main, à $0, 80 m$ de l'axe vertical. On la lance : l'ensemble tourne à $2, 0 rad / s$ . Le moment d'inertie de son corps et du tabouret (sans haltères) vaut $J_{0} = 3, 0 kg m^{2}$ . Elle ramène les haltères à $0, 20 m$ de l'axe.

Justifier la conservation du moment cinétique par rapport à l'axe.

Calculer $J_{1}$ (initial) puis $J_{2}$ (final) de l'ensemble \{personne $+$ haltères\}.

En déduire $ω_{2}$ . Léa accélère-t-elle ?

Comparer l'énergie cinétique de rotation avant et après. D'où vient l'écart ?

Corrigé

1. L'axe est vertical et le pivot sans frottement : le poids (parallèle à l'axe) a un moment nul, la réaction du pivot s'applique sur l'axe (bras nul). Le moment des forces extérieures est nul, donc $J_{1} ω_{1} = J_{2} ω_{2}$ .

2. Chaque haltère ( $m = 2, 0 kg$ à la distance $r$ ) apporte $m r^{2}$ ; pour les deux, $2 m r^{2}$ :

$J_{1} = J_{0} + 2 m r_{1}^{2} = 3, 0 + 2 \times 2, 0 \times 0, 8 0^{2} \approx 5, 6 kg m^{2},$

$J_{2} = J_{0} + 2 m r_{2}^{2} = 3, 0 + 2 \times 2, 0 \times 0, 2 0^{2} \approx 3, 2 kg m^{2} .$

3. $ω_{2} = \frac{J _{1}}{J _{2}} ω_{1} = \frac{5 , 56}{3 , 16} \times 2, 0 \approx 3, 5 rad / s$ . Comme $J_{2} < J_{1}$ , $ω_{2} > ω_{1}$ : Léa accélère.

4. $E_{c 1} = \frac{1}{2} \times 5, 56 \times 2, 0^{2} \approx 11 J$ ; $E_{c 2} = \frac{1}{2} \times 3, 16 \times 3, 5^{2} \approx 20 J$ . L'énergie augmente d'environ $9 J$ : c'est le travail musculaire de Léa pour rapprocher les haltères (contre la force centrifuge), converti en énergie de rotation.

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