Paramètre d'impact et changement de point

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 6 — Moment cinétique · A. Moment cinétique d'un point matériel

Énoncé

Un point matériel $M$ , de masse $m$ et de quantité de mouvement $p = m v$ , est étudié dans un référentiel galiléen ; $O$ et $O^{'}$ sont deux points fixes.

1) Montrer que $L_{O^{'}} = L_{O} + O^{'} O \land p$ . À quelle condition le moment cinétique ne dépend-il pas du point par rapport auquel on le calcule ?

2) Soit $Δ$ un axe orienté par le vecteur unitaire $u$ . Montrer que $L_{Δ} = L_{O} \cdot u$ ne dépend pas du point $O$ choisi sur $Δ$ .

3) Le point $M$ est libre de toute force et décrit donc une droite $D$ à vitesse constante ; on note $b$ la distance de $O$ à $D$ , appelée paramètre d'impact. Montrer que $L_{O}$ est constant, de norme $m v b$ , et préciser sa direction. Retrouver la constance par le théorème du moment cinétique.

4) Le mouvement est plan et repéré en coordonnées polaires $(r, θ)$ de centre $O$ . Montrer que $L_{O} = m r^{2} θ ˙ u_{z}$ , où $u_{z}$ est le vecteur unitaire normal au plan qui rend la base $(u_{r}, u_{θ}, u_{z})$ directe.

5) Ordres de grandeur. Calculer le moment cinétique de l'électron de l'atome d'hydrogène dans le modèle de Bohr ( $r = 5, 29 \times 1 0^{- 11} m$ , $v = 2, 19 \times 1 0^{6} m s^{- 1}$ , $m_{e} = 9, 11 \times 1 0^{- 31} kg$ ) et le comparer à la constante de Planck réduite $ℏ = 1, 055 \times 1 0^{- 34} J s$ ; puis celui de la Terre sur son orbite ( $M_{T} = 5, 97 \times 1 0^{24} kg$ , $v = 29, 8 km s^{- 1}$ , $r = 1, 50 \times 1 0^{11} m$ ). Vérifier que $kg m^{2} s^{- 1}$ et $J s$ sont la même unité.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition $L_{O} = O M \land p$ , la bilinéarité et l'antisymétrie du produit vectoriel, le théorème du moment cinétique en un point fixe.

1) La formule de changement de point. On décompose $O^{'} M = O^{'} O + O M$ , et la bilinéarité du produit vectoriel donne $L_{O^{'}} = O^{'} M \land p = O^{'} O \land p + O M \land p = L_{O} + O^{'} O \land p .$ Le moment cinétique est donc le même en tout point si et seulement si $O^{'} O \land p = 0$ pour tous $O$ , $O^{'}$ , c'est-à-dire si $p = 0$ . Pour un point en mouvement, le moment cinétique dépend toujours du point choisi : dire « le moment cinétique » sans préciser le point n'a pas de sens. Il ne change pas, en revanche, quand on déplace le point parallèlement à $p$ .

2) Le moment par rapport à un axe. Si $O$ et $O^{'}$ sont deux points de $Δ$ , $O^{'} O$ est colinéaire à $u$ , et le produit mixte $(O^{'} O \land p) \cdot u$ est nul, car un produit vectoriel est orthogonal à chacun de ses deux facteurs. En projetant la formule du 1) sur $u$ : $L_{O^{'}} \cdot u = L_{O} \cdot u$ . La grandeur $L_{Δ}$ ne dépend que de l'axe : c'est ce qui la rend utilisable sans préciser de point.

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