Problème : le système Terre-Lune, allongement du jour et éloignement de la Lune

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 6 — Moment cinétique · C. Le théorème du moment cinétique

Énoncé

Données : masse de la Terre $M_{T} = 5, 97 \times 1 0^{24} kg$ , masse de la Lune $M_{L} = 7, 35 \times 1 0^{22} kg$ , distance Terre-Lune $r = 3, 84 \times 1 0^{8} m$ , jour sidéral (période de rotation de la Terre par rapport aux étoiles) $T_{j} = 86164 s$ , constante de gravitation $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N m^{2} k g^{- 2}$ . La Terre est modélisée par un système de points $M_{i}$ de masses $m_{i}$ , tournant d'un bloc à la vitesse angulaire $ω$ autour de l'axe des pôles ; on note $ρ_{i}$ la distance de $M_{i}$ à cet axe et l'on donne $J = \sum_{i} m_{i} ρ_{i}^{2} = 8, 0 \times 1 0^{37} kg m^{2}$ . Les marées allongent le jour de $2, 3 ms$ par siècle.

Hypothèses : le système Terre-Lune est isolé (on néglige l'action du Soleil) ; le centre $O$ de la Terre est assimilé à un point fixe d'un référentiel galiléen ; l'orbite de la Lune est un cercle de centre $O$ , dans le plan équatorial de la Terre ; on néglige le moment cinétique de rotation propre de la Lune.

1) Par le principe fondamental de la dynamique appliqué à la Lune, montrer que son moment cinétique orbital en $O$ vaut $L_{o} = M_{L} G M_{T} r$ . Le calculer et donner sa direction.

2) Montrer que le moment cinétique de la Terre par rapport à l'axe des pôles vaut $L_{s} = J ω$ . Le calculer et comparer à $L_{o}$ .

3) Justifier que $L_{s} + L_{o}$ se conserve. Expliquer qualitativement comment les marées transfèrent du moment cinétique de la rotation terrestre vers l'orbite lunaire (rôle du bras de levier du bourrelet de marée).

4) Montrer que $\frac{L ˙ _{o}}{L _{o}} = \frac{r ˙}{2 r}$ , puis déduire de l'allongement du jour la vitesse d'éloignement de la Lune, en centimètres par an. Comparer à la mesure par télémétrie laser, $3, 8 cm$ par an.

5) L'énergie mécanique du système vaut $E = \frac{1}{2} J ω^{2} - \frac{G M _{T} M _{L}}{2 r}$ : justifier cette expression, puis calculer sa variation par unité de temps. Interpréter, et comparer à la consommation mondiale d'énergie primaire, de l'ordre de $19 TW$ .

6) L'évolution s'arrête quand la rotation de la Terre est synchrone de l'orbite lunaire : $ω_{f} = G M_{T} / r_{f}^{3}$ . Écrire l'équation vérifiée par $r_{f}$ , la résoudre numériquement, puis par l'approximation $L_{s} ≪ L_{o}$ . Quelle serait alors la durée commune du jour et du mois ?

Corrigé

1) Le moment cinétique orbital. La Lune, assimilée à un point, n'est soumise qu'à l'attraction de la Terre, de norme $\frac{G M _{T} M _{L}}{r ^{2}}$ , dirigée vers $O$ . Sur une orbite circulaire de rayon $r$ , le mouvement est uniforme (la force est perpendiculaire à la vitesse) et l'accélération est centripète, de norme $v^{2} / r$ . La projection radiale du PFD donne $M_{L} \frac{v ^{2}}{r} = \frac{G M _{T} M _{L}}{r ^{2}} ⟹ v = \frac{G M _{T}}{r} \approx 1, 02 km s^{- 1} .$ La vitesse est orthoradiale, et le moment cinétique en $O$ vaut $L_{o} = M_{L} r v = M_{L} G M_{T} r = 7, 35 \times 1 0^{22} \times 6, 67 \times 1 0^{- 11} \times 5, 97 \times 1 0^{24} \times 3, 84 \times 1 0^{8} \approx 2, 87 \times 1 0^{34} kg m^{2} s^{- 1} .$ Il est perpendiculaire au plan de l'orbite, orienté par le sens de révolution : la Lune tourne autour de la Terre dans le même sens que la Terre tourne sur elle-même, et $L_{o}$ est parallèle à l'axe des pôles, de même sens que la rotation terrestre. On retient surtout la dépendance $L_{o} \propto r$ : une Lune plus lointaine a plus de moment cinétique, bien qu'elle aille moins vite.

2) Le moment cinétique de la Terre. Chaque point $M_{i}$ décrit un cercle de rayon $ρ_{i}$ autour de l'axe des pôles, à la vitesse angulaire $ω$ ; son moment cinétique par rapport à l'axe est $m_{i} ρ_{i}^{2} ω$ (exercice 1, en polaires). Pour le système, la somme donne $L_{s} = i \sum m_{i} ρ_{i}^{2} ω = J ω .$ Avec $ω = \frac{2 π}{T _{j}} \approx 7, 29 \times 1 0^{- 5} rad s^{- 1}$ — c'est le jour sidéral qui convient, puisque la rotation se mesure par rapport à un référentiel galiléen, lié aux étoiles, et non par rapport au Soleil — on trouve $L_{s} \approx 5, 83 \times 1 0^{33} kg m^{2} s^{- 1}$ . Le rapport vaut $\frac{L _{o}}{L _{s}} \approx 4, 9$ : l'essentiel du moment cinétique du système est dans l'orbite de la Lune, et non dans la rotation de la Terre.

3) Pourquoi la somme se conserve. Le système est isolé : les seules forces sont intérieures. Elles s'exercent entre les points de la Terre et la Lune, et entre les points de la Terre eux-mêmes ; chacune de ces interactions est formée de deux forces opposées portées par la droite qui joint les deux points, et la somme de leurs moments en $O$ est nulle (c'est l'argument établi pour la balance romaine). L'hypothèse « $O$ fixe » ajoute la force qui maintient le centre de la Terre en place, mais elle s'applique en $O$ : son moment en $O$ est nul. Le théorème du moment cinétique, sommé sur tous les points, donne donc $\frac{d}{d t} (L_{s} + L_{o}) = 0$ .

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