Tirer le fil d'une masse qui tourne : d'où vient l'énergie ?

Un palet de masse $m=0,50\mathrm{kg}$ glisse sans frottement sur une table horizontale. Il est attaché à un fil qui passe par un trou $O$ de la table ; un opérateur tient l'autre extrémité sous la table. Initialement, le palet décrit un cercle de rayon $r_1=0,80\mathrm{m}$ à la vitesse angulaire ${\omega }_1=2,0\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$. L'opérateur tire lentement le fil jusqu'à ce que le rayon vaille $r_2=0,40\mathrm{m}$.

1) Montrer que le moment cinétique du palet par rapport à l'axe vertical passant par $O$ se conserve. En déduire ${\omega }_2$ et la vitesse finale.

2) Comparer les énergies cinétiques initiale et finale. Pourquoi l'énergie cinétique n'est-elle pas conservée, alors que le moment cinétique l'est ?

3) On suppose la traction assez lente pour que, à chaque instant, $\ddot{r}$ soit négligeable. Montrer que la tension vaut $T=\frac{L^2}{m{r}^3}$, où $L$ est le moment cinétique, puis calculer le travail fourni par l'opérateur. Comparer à la variation d'énergie cinétique.

4) Un enfant debout sur un manège qui tourne librement ramène vers l'axe une masse qu'il tenait à bout de bras ; une patineuse ramène les bras le long du corps. Qu'arrive-t-il à la vitesse de rotation ? D'où vient l'énergie cinétique supplémentaire ?

5) Arrivé à $r_2$, l'opérateur lâche le fil. Décrire le mouvement ultérieur du palet et calculer la distance minimale à laquelle sa trajectoire passe de $O$.