Trois façons de calculer un moment

Une porte de largeur $0,80\mathrm{m}$ tourne autour de l'axe vertical $Oz$ de ses gonds, orienté vers le haut. Dans la position étudiée, la porte est dans le plan $(O,{\vec{u}}_x,{\vec{u}}_z)$, et ${\vec{u}}_y$ est normal à la porte. La poignée $A$ est à la distance $a=0,80\mathrm{m}$ de l'axe, à la hauteur $h=1,0\mathrm{m}$ au-dessus de $O$ : $\overrightarrow{OA}=a{\vec{u}}_x+h{\vec{u}}_z$.

1) On pousse la porte perpendiculairement à son plan avec une force de $50\mathrm{N}$, d'abord à la poignée, puis à $r=0,10\mathrm{m}$ de l'axe. Comparer les moments par rapport à l'axe. Quelle force faudrait-il près des gonds pour le même effet ?

2) On pousse à la poignée avec une force horizontale de $50\mathrm{N}$ faisant un angle de $30°$ avec le plan de la porte. Calculer le moment par rapport à l'axe.

3) On exerce maintenant à la poignée une force quelconque $\vec{F}=F_x{\vec{u}}_x+F_y{\vec{u}}_y+F_z{\vec{u}}_z$, avec $F_x=-30\mathrm{N}$, $F_y=40\mathrm{N}$, $F_z=-20\mathrm{N}$. Calculer le moment de $\vec{F}$ par rapport à l'axe des gonds de trois façons : a) par le produit vectoriel $\overrightarrow{OA}\wedge \vec{F}$ projeté sur ${\vec{u}}_z$ ; b) par le bras de levier ; c) par la composante utile de la force.

4) Que deviennent la composante $F_z$, la composante $F_x$ et les composantes horizontales de $\overrightarrow{OA}\wedge \vec{F}$ ?

5) Un ferme-porte exerce sur la porte un moment résistant de $12\mathrm{N}\mathrm{m}$. Quelle est la force minimale à exercer à la poignée pour ouvrir la porte, et dans quelle direction ?