Vitesse au point bas d'un pendule

Le TMC donne $\ddot{\theta }=-\frac{g}{\ell }\sin \theta$. En multipliant par $\dot{\theta }$ et en intégrant, on obtient l'intégrale première $\frac{1}{2}{\dot{\theta }}^2=\frac{g}{\ell }\cos \theta +\text{cte}$. Avec $\dot{\theta }=0$ en ${\theta }_0=\pi /2$ ($\cos {\theta }_0=0$), la constante est nulle. Au point bas ($\theta =0$) : $\frac{1}{2}{\dot{\theta }}^2=g/\ell$, soit $\dot{\theta }=\sqrt{2g/\ell }$ et la vitesse $v=\ell \dot{\theta }=\sqrt{2g\ell }$ (cohérent avec $v=\sqrt{2gh}$, $h=\ell$).