Accéléré ou ralenti ? Le mouvement elliptique

1) Le critère. On écrit $v^2=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}$ et l'on dérive le produit scalaire comme un produit : $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v})=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}\cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}\cdot \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v},\text{donc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}{v}^2\right)=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}.$$ Comme $\frac{1}{2}{v}^2$ et $v\ge 0$ varient dans le même sens, le mouvement est accéléré quand $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}>0$ et ralenti quand $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}<0$ : c'est l'angle entre $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{v}$ qui décide. Si $v$ est constante, $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}=0$ : l'accélération est perpendiculaire à la vitesse (ou nulle).

Le point délicat. « Accéléré » ne veut pas dire « $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ » : le mouvement circulaire uniforme a une accélération non nulle, perpendiculaire à $\overrightarrow{v}$, et il n'est ni accéléré ni ralenti.

2) L'ellipse. On a $\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}={\cos }^2\omega t+{\sin }^2\omega t=1$ : la trajectoire est l'ellipse de centre $O$, de demi-grand axe $A$ selon $Ox$ et de demi-petit axe $B$ selon $Oy$, parcourue dans le sens trigonométrique, en un temps $2\pi /\omega$. En dérivant dans la base fixe : $$\overrightarrow{v}=-A\omega \sin (\omega t){\overrightarrow{u}}_x+B\omega \cos (\omega t){\overrightarrow{u}}_y,$$ $$\overrightarrow{a}=-A{\omega }^2\cos (\omega t){\overrightarrow{u}}_x-B{\omega }^2\sin (\omega t){\overrightarrow{u}}_y=-{\omega }^2\overrightarrow{OM}.$$ L'accélération pointe toujours vers le centre $O$, et sa norme est proportionnelle à la distance $OM$.

3) Accéléré, ralenti. Puisque $\overrightarrow{a}=-{\omega }^2\overrightarrow{OM}$, $$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}=-{\omega }^2\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{v}=-\frac{{\omega }^2}{2}\frac{\mathrm{d}(O{M}^2)}{\mathrm{d}t}.$$ Le calcul explicite donne $O{M}^2=A^2{\cos }^2\omega t+B^2{\sin }^2\omega t$, donc $\frac{\mathrm{d}(O{M}^2)}{\mathrm{d}t}=-\omega (A^2-B^2)\sin (2\omega t)$ et $$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{{\omega }^3}{2}(A^2-B^2)\sin (2\omega t).$$ Le mouvement est accéléré quand $M$ se rapproche de $O$ ($\omega t\in ]0,\pi /2[$, de l'extrémité du grand axe vers celle du petit axe, et de même au demi-tour suivant) et ralenti quand il s'en éloigne. La vitesse est maximale aux extrémités du petit axe ($v=A\omega$), minimale à celles du grand axe ($v=B\omega$) ; aux quatre sommets, $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{v}$.

Interprétation. Une accélération qui tire vers le centre fait gagner de la vitesse quand on s'en approche — comme une bille dans une cuvette, qui va le plus vite au fond.

4) Une quantité conservée. Calcul direct : $$v^2={\omega }^2(A^2{\sin }^2\omega t+B^2{\cos }^2\omega t),{\omega }^{2}O{M}^2={\omega }^2(A^2{\cos }^2\omega t+B^2{\sin }^2\omega t),$$ dont la somme vaut ${\omega }^2(A^2+B^2)$, constante. Sans résoudre : pour tout mouvement vérifiant $\overrightarrow{a}=-{\omega }^2\overrightarrow{OM}$, $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(v^2+{\omega }^{2}O{M}^2)=2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}+2{\omega }^2\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{v}=2\overrightarrow{v}\cdot (\overrightarrow{a}+{\omega }^2\overrightarrow{OM})=0,$$ en utilisant $\frac{\mathrm{d}(O{M}^2)}{\mathrm{d}t}=2\overrightarrow{OM}\cdot \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}=2\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{v}$. La quantité $v^2+{\omega }^{2}O{M}^2$ est donc constante quelle que soit la trajectoire, ellipse, cercle ou segment. Homogénéité : $\omega$ est l'inverse d'un temps, $\omega OM$ est une vitesse, et les deux termes sont des carrés de vitesses.

Ce que cela annonce. Multipliée par $m/2$, cette quantité est $\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}m{\omega }^{2}O{M}^2$ : l'énergie mécanique d'un point attaché à $O$ par un ressort, intégrale première du chapitre de l'énergie, obtenue ici sans parler de force.

Ce que l'exercice installe. L'identité $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}{v}^2\right)=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}$ est la version cinématique du théorème de l'énergie cinétique : elle reviendra, multipliée par la masse, au chapitre 3. Et le geste « dériver une quantité bien choisie et montrer que la dérivée est nulle sans résoudre » est celui de toutes les intégrales premières de l'année.