La cycloïde

La stratégie. Le mouvement de $M$ est compliqué ; ceux de $C$ et de $M$ autour de $C$ sont simples. On somme deux vecteurs simples en cartésiennes, base fixe : il suffira de dériver les coordonnées.

1) Les équations horaires. Le centre est en $\overrightarrow{OC}=Vt{\overrightarrow{u}}_x+R{\overrightarrow{u}}_y$. À $t=0$, $M$ est au point bas du disque : $\overrightarrow{CM}(0)=-R{\overrightarrow{u}}_y$. Le disque tourne dans le sens horaire de l'angle $\omega t$ ; le point bas, en tournant dans ce sens, part vers l'arrière (vers les $x$ négatifs) en remontant. Le vecteur $\overrightarrow{CM}$, de norme $R$, fait avec $-{\overrightarrow{u}}_y$ l'angle $\omega t$ compté vers $-{\overrightarrow{u}}_x$ : $$\overrightarrow{CM}=-R\sin (\omega t){\overrightarrow{u}}_x-R\cos (\omega t){\overrightarrow{u}}_y.$$ Donc $$x(t)=Vt-R\sin (\omega t),y(t)=R-R\cos (\omega t).$$

2) Le point de contact. En dérivant coordonnée par coordonnée : $$\dot{x}=V-R\omega \cos (\omega t),\dot{y}=R\omega \sin (\omega t).$$ Le point $M$ est au contact du sol quand $y=0$, soit $\cos (\omega t)=1$ et $\sin (\omega t)=0$. Sa vitesse y vaut $(V-R\omega ){\overrightarrow{u}}_x$ : elle est nulle si et seulement si $V=R\omega$. C'est la traduction cinématique du roulement sans glissement : le point de la roue qui touche le sol ne frotte pas contre lui. Si $V>R\omega$, la roue glisse en avançant (roues bloquées : $\omega =0$) ; si $V<R\omega$, elle patine.

3) La norme de la vitesse. Avec $V=R\omega$ : $$\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2=R^2{\omega }^2[(1-\cos \omega t{)}^2+{\sin }^2\omega t]=2R^2{\omega }^2(1-\cos \omega t)=4R^2{\omega }^2{\sin }^2\frac{\omega t}{2},$$ en utilisant $1-\cos \phi =2{\sin }^2(\phi /2)$. Donc $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =2V\left|\sin \frac{\omega t}{2}\right|$. Elle est maximale, égale à $2V$, quand $\omega t=\pi$ : au sommet de la roue, la jante va deux fois plus vite que le vélo. Elle est nulle au contact.

Interprétation : tout se passe, à chaque instant, comme si la roue tournait autour de son point de contact immobile : le sommet, deux fois plus loin du contact que le centre, va deux fois plus vite que lui.

4) L'accélération. En dérivant encore : $$\ddot{x}=R{\omega }^2\sin (\omega t),\ddot{y}=R{\omega }^2\cos (\omega t),\text{soit}\overrightarrow{a}=-{\omega }^2\overrightarrow{CM}.$$ Sa norme est constante, égale à $R{\omega }^2=V^2/R$, et elle est dirigée de $M$ vers le centre $C$. Ce n'est pas une surprise : $C$ a une accélération nulle, et autour de $C$ le point $M$ décrit un cercle uniforme.

Le point délicat. Au contact, la vitesse est nulle mais l'accélération ne l'est pas : elle vaut $R{\omega }^2{\overrightarrow{u}}_y$, dirigée vers le haut. Une vitesse nulle à un instant ne dit rien de l'accélération à cet instant — exactement comme une balle lancée verticalement, immobile au sommet, mais accélérée de $g$.

5) La longueur d'une arche. Entre deux contacts, $\omega t$ va de $0$ à $2\pi$, soit $t$ de $0$ à $2\pi /\omega$. L'abscisse curviligne avance de $\mathrm{d}s=\Vert \overrightarrow{v}\Vert \mathrm{d}t$ ; sur cet intervalle, $\sin (\omega t/2)\ge 0$, donc $$s={\int }_0^{2\pi /\omega }2R\omega \sin \frac{\omega t}{2}\mathrm{d}t=2R\omega {\left[-\frac{2}{\omega }\cos \frac{\omega t}{2}\right]}_0^{2\pi /\omega }=2R\omega \cdot \frac{4}{\omega }=8R.$$ Pendant ce temps, le centre a avancé de $V\cdot 2\pi /\omega =2\pi R\approx 6,28R$. Le point de la jante parcourt plus de chemin que le centre ($8R$ contre $2\pi R$) : il monte et redescend en plus d'avancer.

6) La valve du vélo. $\omega =V/R=8,0/0,33\approx 24\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$. Vitesse maximale de la valve : $2V=16\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, soit près de $58\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$. Accélération : $$a=\frac{V^2}{R}=\frac{8,0^2}{0,33}\approx 1,9\times 10^2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}\approx 20g.$$ Une goutte d'eau sur la jante subit vingt fois la pesanteur : la roue projette l'eau. Longueur d'une arche : $8R=2,64\mathrm{m}$, contre $2\pi R\approx 2,07\mathrm{m}$ pour le vélo.

Ce que l'exercice installe. Décomposer un mouvement compliqué en somme de mouvements simples, dans une base fixe ; dériver coordonnée par coordonnée ; puis intégrer la norme de la vitesse pour obtenir une longueur, $s=\int \Vert \overrightarrow{v}\Vert \mathrm{d}t$. On reviendra sur la cycloïde dans l'exercice 8, où son rayon de courbure réserve une surprise.