Le rayon de courbure

La stratégie. La définition de Frenet relie le rayon de courbure à la composante normale de l'accélération, $a_N=v^2/R_c$. Il suffit donc de calculer $a_N$ à partir des coordonnées cartésiennes, en séparant dans $\overrightarrow{a}$ ce qui est le long de $\overrightarrow{v}$ et ce qui lui est perpendiculaire.

1) La formule. Avec $\overrightarrow{v}=v{\overrightarrow{u}}_T$ et ${\overrightarrow{u}}_T\perp {\overrightarrow{u}}_N$, le produit scalaire de l'expression de Frenet avec $\overrightarrow{v}$ donne $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}=v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$, donc $$a_T=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}}{v}=\frac{\dot{x}\ddot{x}+\dot{y}\ddot{y}}{v}.$$ Par le théorème de Pythagore dans la base orthonormée de Frenet, $a_N^2=\Vert \overrightarrow{a}{\Vert }^2-a_T^2$, d'où $$a_N^2=\frac{({\ddot{x}}^2+{\ddot{y}}^2)({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)-(\dot{x}\ddot{x}+\dot{y}\ddot{y}{)}^2}{v^2}.$$ Développons le numérateur : les termes ${\dot{x}}^2{\ddot{x}}^2$ et ${\dot{y}}^2{\ddot{y}}^2$ se simplifient, et il reste $${\dot{x}}^2{\ddot{y}}^2+{\dot{y}}^2{\ddot{x}}^2-2\dot{x}\ddot{x}\dot{y}\ddot{y}=(\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}{)}^2.$$ Donc $a_N=\frac{|\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}|}{v}$ (on rappelle que $a_N\ge 0$), et $a_N=v^2/R_c$ donne $$R_c=\frac{v^3}{|\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}|}.$$ Homogénéité : $v^3$ est en ${\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-3}$ ; $\dot{x}\ddot{y}$ est en $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\times \mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}={\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-3}$ ; le quotient est en mètres. Point délicat : le rayon de courbure est une propriété géométrique de la courbe ; reparcourir la même courbe deux fois plus vite multiplie numérateur et dénominateur par $8$, et $R_c$ ne change pas.

2) La parabole. $\dot{x}=1$, $\dot{y}=2t$, $\ddot{x}=0$, $\ddot{y}=2$ ; $v=\sqrt{1+4t^2}$ et $\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}=2$. Donc $$R_c=\frac{(1+4t^2{)}^{3/2}}{2},a_T=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{4t}{\sqrt{1+4t^2}},a_N=\frac{v^2}{R_c}=\frac{2}{\sqrt{1+4t^2}}.$$ Au sommet ($t=0$), $R_c=1/2$ : le cercle osculateur au sommet de $y=x^2$ a pour rayon $1/2$. Loin du sommet, $R_c\sim 4|t{|}^3$ tend vers l'infini : la parabole devient presque rectiligne. On vérifie au passage que $a_T^2+a_N^2=\frac{16t^2+4}{1+4t^2}=4=\Vert \overrightarrow{a}{\Vert }^2$.

3) Le projectile. $\dot{x}=v_0\cos \alpha$ (constant), $\dot{y}=v_0\sin \alpha -gt$, $\ddot{x}=0$, $\ddot{y}=-g$, d'où $|\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}|=g{v}_0\cos \alpha$, constant le long de la trajectoire. Ainsi $$R_c=\frac{v^3}{g{v}_0\cos \alpha }.$$ Au lancement, $v=v_0$ : $R_{c,0}=\frac{v_0^2}{g\cos \alpha }$. Au sommet, $v=v_0\cos \alpha$ : $R_{c,s}=\frac{v_0^2{\cos }^2\alpha }{g}$. On retrouve ce dernier résultat directement : au sommet, $\overrightarrow{v}$ est horizontale et $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}$ est verticale, donc entièrement normale, $a_N=g$, et $R_{c,s}=v^2/g$. Le rayon de courbure est minimal au sommet, où la vitesse l'est.

Pour le ballon de basket : $R_{c,0}=\frac{49}{9,81\times 0,643}\approx 7,8\mathrm{m}$ et $R_{c,s}=\frac{49\times 0,413}{9,81}\approx 2,1\mathrm{m}$. La trajectoire, à peine courbée au départ, « tourne » nettement au sommet.

4) Le sommet de la cycloïde. Avec les résultats de l'exercice 2 : au sommet, $v=2V$ et $\overrightarrow{a}=-{\omega }^2\overrightarrow{CM}$ est dirigée vers le centre de la roue, vers le bas, perpendiculairement à $\overrightarrow{v}$ horizontale ; donc $a_N=R{\omega }^2=V^2/R$ et $$R_c=\frac{v^2}{a_N}=\frac{4V^2}{V^2/R}=4R.$$ Le rayon de courbure au sommet vaut quatre fois le rayon de la roue. Pourquoi pas $R$ ? Parce que $M$ décrit un cercle autour de $C$, qui avance : dans le référentiel du sol, l'accélération normale est bien $V^2/R$, mais la vitesse est $2V$, et $R_c=v^2/a_N$ est multiplié par quatre. Le rayon de courbure dépend du référentiel.

En général, avec les dérivées de l'exercice 2 et $V=R\omega$ : $\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}=R^2{\omega }^3(\cos \omega t-1)=-2R^2{\omega }^3{\sin }^2(\omega t/2)$, et $v^3=8R^3{\omega }^3|\sin (\omega t/2){|}^3$, d'où $$R_c=4R\left|\sin \frac{\omega t}{2}\right|.$$ Il vaut $4R$ au sommet et tend vers zéro au point de contact : la cycloïde y présente un point de rebroussement, où la trajectoire repart en sens inverse — ce qui est compatible avec une vitesse nulle à cet instant.

Ce que l'exercice installe. Le repère de Frenet comme outil de calcul : la composante tangentielle se calcule par $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}/v$, la composante normale par Pythagore, et le rayon de courbure par $R_c=v^2/a_N$. Le réflexe de projeter $\overrightarrow{a}$ sur $\overrightarrow{v}$ pour séparer « changer de vitesse » et « changer de direction » servira dans chaque problème de virage, de looping ou de trajectoire.