Le tir au basket

1. Une fois lâché, le ballon a une accélération $\overrightarrow{a}=-g{\overrightarrow{e}}_y$ : sa direction, son sens et sa norme ne changent pas au cours du temps, d'où l'expression « accélération constante ». Une composante horizontale uniforme combinée à une composante verticale uniformément variée donne une trajectoire parabolique.

2. On intègre l'accélération avec ${\overrightarrow{v}}_0=v_0\cos \alpha {\overrightarrow{e}}_x+v_0\sin \alpha {\overrightarrow{e}}_y$ et une position initiale nulle :

$$\boxed{x(t)=(v_0\cos \alpha )t},\boxed{y(t)=(v_0\sin \alpha )t-\frac{1}{2}g{t}^2}.$$

En éliminant $t=x/(v_0\cos \alpha )$ :

$$\boxed{y(x)=x\tan \alpha -\frac{g{x}^2}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }}.$$

3. Au sommet, la vitesse verticale s'annule : $\dot{y}=v_0\sin \alpha -g{t}_s=0$ donne $t_s=\frac{v_0\sin \alpha }{g}$, d'où la flèche

$$\boxed{h=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}}.$$

Le retour à $y=0$ (autre que $t=0$) a lieu à $t_D=\frac{2v_0\sin \alpha }{g}$, soit une portée

$$\boxed{D=\frac{v_0^2\sin (2\alpha )}{g}}.$$

4. Numériquement, avec $v_0=7,0$, $\alpha =50^{\circ }$ ($\sin 50^{\circ }\approx 0,766$, $\sin 100^{\circ }\approx 0,985$) et $g=9,81$ :

$$h=\frac{7,0^2\times 0,766^2}{2\times 9,81}\approx 1,5\mathrm{m},D=\frac{7,0^2\times 0,985}{9,81}\approx 4,9\mathrm{m}.$$

La portée $D\approx 4,9\mathrm{m}$ dépasse la distance $4,0\mathrm{m}$ à l'anneau, et à $x=4,0\mathrm{m}$ on a $y(4,0)\approx 0,89\mathrm{m}>0$ : le ballon est encore au-dessus du panier. Le tir est cohérent avec une mise au panier.

5. La portée $D=v_0^2\sin (2\alpha )/g$ est maximale quand $\sin (2\alpha )=1$, c'est-à-dire $2\alpha =90^{\circ }$, soit $\boxed{\alpha =45^{\circ }}$.