Les quatre chiens

La stratégie. Quatre points du plan, c'est huit coordonnées couplées. On cherche une symétrie qui ramène le problème à un seul point, puis les coordonnées qui la respectent — les polaires de centre $O$.

1) La symétrie. La rotation $\mathcal{R}$ de centre $O$ et d'angle $\pi /2$ envoie $A$ sur $B$, $B$ sur $C$, $C$ sur $D$, $D$ sur $A$, et la règle « chacun vise le suivant » est invariante par cette permutation circulaire. La configuration tournée obéit donc aux mêmes équations avec la même condition initiale : par unicité de la solution, la configuration reste invariante par $\mathcal{R}$ à chaque instant — c'est un carré de centre $O$.

Le système entier est décrit par le seul chien $A$ : deux degrés de liberté, $r$ et $\theta$, au lieu de huit.

2) La direction de la vitesse. En polaires de centre $O$, $\overrightarrow{OA}=r{\overrightarrow{u}}_r$, et $B$, image de $A$ par le quart de tour, est en $\overrightarrow{OB}=r{\overrightarrow{u}}_{\theta }$. Donc $$\overrightarrow{AB}=r({\overrightarrow{u}}_{\theta }-{\overrightarrow{u}}_r),$$ qui fait un angle de $135^{\circ }$ avec ${\overrightarrow{u}}_r$ (et $45^{\circ }$ avec $-{\overrightarrow{u}}_r$). Le chien $A$ court selon $\overrightarrow{AB}$ à la vitesse $v$ : $${\overrightarrow{v}}_A=\frac{v}{\sqrt{2}}(-{\overrightarrow{u}}_r+{\overrightarrow{u}}_{\theta }).$$ En identifiant avec l'expression polaire de la vitesse, $\overrightarrow{v}=\dot{r}{\overrightarrow{u}}_r+r\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }$ : $$\dot{r}=-\frac{v}{\sqrt{2}},r\dot{\theta }=\frac{v}{\sqrt{2}}.$$

3) La rencontre. Puisque $\dot{r}$ est constant, $r(t)=r_0-\frac{v}{\sqrt{2}}t$, avec $r_0=\frac{a}{\sqrt{2}}$ (demi-diagonale). Les chiens se rejoignent au centre $O$ à l'instant où $r=0$ : $$t_4=\frac{r_0\sqrt{2}}{v}=\frac{a}{v}=10\mathrm{s}.$$ Chacun a couru à la vitesse $v$ pendant $a/v$ : il a parcouru exactement $a=10\mathrm{m}$, le côté du carré, alors qu'il a tourné autour du centre.

4) La spirale logarithmique. On élimine le temps : $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta }=\frac{\dot{r}}{\dot{\theta }}=\frac{-v/\sqrt{2}}{v/(\sqrt{2}r)}=-r$. En séparant les variables, $\frac{\mathrm{d}r}{r}=-\mathrm{d}\theta$, d'où, avec $\theta (0)={\theta }_0$, $$r=r_0{e}^{-(\theta -{\theta }_0)}.$$ C'est une spirale logarithmique. Le chien atteint $O$ quand $r\to 0$, c'est-à-dire quand $\theta \to +\infty$ : il fait une infinité de tours autour du centre en un temps fini et sur une longueur finie.

Le paradoxe se lit sur la vitesse angulaire : $\dot{\theta }=\frac{v}{\sqrt{2}r}$ tend vers l'infini quand $r\to 0$. Le nombre de tours diverge, mais seulement comme $\ln (r_0/r)$ : de $r_0\approx 7\mathrm{m}$ à $1\mathrm{cm}$, le chien ne fait que $\ln (707)/(2\pi )\approx 1,0$ tour.

La limite du modèle. Le rayon de courbure de cette spirale vaut $r\sqrt{2}$ (on le vérifiera avec la formule de l'exercice 8), et l'accélération normale $v^2/(r\sqrt{2})$ tend vers l'infini. Un vrai chien, de taille de l'ordre du mètre, ne prend pas un virage de rayon nul : le modèle du point matériel cesse d'être valable pendant la dernière seconde, et le résultat « ils se rejoignent en $a/v$ » reste juste à cette seconde près.

5) La vitesse de rapprochement. La distance $\ell =AB$ varie sous l'effet des deux mouvements : $A$ court droit vers $B$, ce qui raccourcit $\ell$ au taux $v$ ; $B$ court vers $C$, perpendiculairement à $AB$ dans le cas du carré, ce qui ne change pas $\ell$. Donc $\dot{\ell }=-v$ et l'on retrouve $t_4=a/v$ sans une seule coordonnée.

Généralisation. Pour $N$ chiens aux sommets d'un polygone régulier, la symétrie (rotation d'angle $2\pi /N$) conserve un polygone régulier. La vitesse de $B$ fait avec le prolongement de $\overrightarrow{AB}$ l'angle extérieur du polygone, $2\pi /N$ ; sa composante selon $\overrightarrow{AB}$, qui allonge la distance, vaut $v\cos (2\pi /N)$. Donc $$\dot{\ell }=-v+v\cos \frac{2\pi }{N}=-v\left(1-\cos \frac{2\pi }{N}\right),t_N=\frac{a}{v(1-\cos (2\pi /N))}.$$ Avec $a=10\mathrm{m}$ et $v=1,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $t_3=\frac{10}{1,5}\approx 6,67\mathrm{s}$, $t_4=10,0\mathrm{s}$, $t_6=\frac{10}{0,5}=20,0\mathrm{s}$. Une simulation pas à pas des $N$ poursuites (pas de $10^{-5}\mathrm{s}$) redonne ces trois durées à $10^{-3}$ près.

Quand $N\to \infty$, $1-\cos (2\pi /N)\approx 2{\pi }^2/N^2$ et $t_N\approx \frac{a{N}^2}{2{\pi }^{2}v}\to \infty$ : chaque chien court presque derrière le précédent. Homogénéité : $a/v$ est un temps, le facteur est sans dimension. Cas $N=2$ : $t_2=a/(2v)$, deux chiens qui courent l'un vers l'autre.

Ce que l'exercice installe. Compter les degrés de liberté et les réduire par une symétrie ; choisir les polaires quand le problème tourne autour d'un point, la direction de la vitesse donnant directement $\dot{r}$ et $r\dot{\theta }$ ; chercher une grandeur bien choisie (la distance entre deux chiens) dont l'évolution est simple — l'ancêtre des intégrales premières.