Mesurer $g$ sur une vidéo, et le bruit de pointage

1) L'ordre des différences finies. On écrit les développements de Taylor de $y$ autour de $t_i$ : $$y(t_i\pm \Delta t)=y_i\pm {\dot{y}}_i\Delta t+\frac{1}{2}{\ddot{y}}_i\Delta t^2\pm \frac{1}{6}{\stackrel{\cdots }{y}}_i\Delta t^3+\frac{1}{24}{y}_i^{(4)}\Delta t^4+\dots$$ En soustrayant les deux lignes, les termes pairs disparaissent : $$\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2\Delta t}={\dot{y}}_i+\frac{1}{6}{\stackrel{\cdots }{y}}_i\Delta t^2+\dots$$ L'erreur est d'ordre $\Delta t^2$. La différence à droite garde le terme $\frac{1}{2}{\ddot{y}}_i\Delta t$ : erreur d'ordre $\Delta t$ (elle estime la vitesse en $t_i+\Delta t/2$). En additionnant les deux lignes, ce sont les termes impairs qui disparaissent : $$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{\Delta t^2}={\ddot{y}}_i+\frac{1}{12}{y}_i^{(4)}\Delta t^2+\dots$$ Pour un mouvement à accélération constante, $y$ est un polynôme de degré $2$ : $\stackrel{\cdots }{y}=y^{(4)}=0$, et les deux formules centrées sont exactes. Toute dispersion observée sur un tel mouvement vient donc de la mesure, pas de la méthode.

2) Les estimations. Avec $2\Delta t=0,10\mathrm{s}$ : $$v_1=\frac{2,15-1,80}{0,10}=3,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},v_2=3,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},v_3=2,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},v_4=2,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ La vitesse décroît régulièrement, d'environ $0,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ par image : le sauteur ralentit en montant, ce qu'on attend d'une accélération d'environ $-10\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. Avec $\Delta t^2=2,5\times 10^{-3}{\mathrm{s}}^2$, les différences secondes donnent : $$a_1=\frac{2,15-2\times 1,99+1,80}{0,0025}=-12\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2},$$ puis de même $a_2=-8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, $a_3=-12\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ et $a_4=-8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. Les valeurs oscillent de $\pm 20\%$ autour de $-10\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, alors que le mouvement est une chute libre d'accélération constante. D'après la question 1, ce n'est pas la méthode qui est en cause : c'est le bruit de pointage.

3) Dériver amplifie le bruit. Si chaque $y_i$ est entaché d'une erreur au plus $\delta$, la différence $y_{i+1}-y_{i-1}$ l'est d'au plus $2\delta$, et la vitesse estimée d'au plus $2\delta /(2\Delta t)=\delta /\Delta t$. La différence seconde $y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}$ cumule $\delta +2\delta +\delta =4\delta$ au pire, d'où une erreur sur l'accélération d'au plus $4\delta /\Delta t^2$. Numériquement : $$\frac{\delta }{\Delta t}=\frac{0,005}{0,05}=0,1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},\frac{4\delta }{\Delta t^2}=\frac{0,02}{0,0025}=8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}.$$ Une erreur de $5\mathrm{mm}$ sur la position — invisible sur l'image — peut devenir une erreur de $80\%$ sur $g$. Chaque dérivation divise par $\Delta t$ et amplifie le bruit d'un facteur $1/\Delta t$.

Le paradoxe. Filmer deux fois plus vite en pointant toujours au centimètre multiplie par quatre l'erreur sur l'accélération ($32\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ au pire). Une simulation (positions exactes arrondies au centimètre, vingt mille tirages) donne un écart-type des différences secondes de $2,8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ à $20$ images par seconde, de $11\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ à $40$. Plus d'images ne sert que si l'on pointe plus finement.

4) L'ajustement parabolique. Au lieu de dériver localement trois points bruités, on cherche la parabole qui passe au plus près de tous les points à la fois (moindres carrés) ; le coefficient de $t^2$ vaut $-g/2$. Les erreurs de pointage, indépendantes d'un point à l'autre, se compensent en partie au lieu de s'additionner, et l'on ne divise jamais par $\Delta t^2$ un écart entre deux mesures voisines.

import numpy as np

dt = 0.05            # s : camera a 20 images par seconde
y = np.array([1.80, 1.99, 2.15, 2.29, 2.40, 2.49])   # m
t = dt * np.arange(len(y))

v = (y[2:] - y[:-2]) / (2 * dt)               # centrees
a = (y[2:] - 2 * y[1:-1] + y[:-2]) / dt**2    # secondes
print("v (m/s)   :", np.round(v, 2))
print("a (m/s^2) :", np.round(a, 1))

c, cov = np.polyfit(t, y, 2, cov=True)   # y = c0 t^2 + c1 t + c2
g, dg = -2 * c[0], 2 * np.sqrt(cov[0, 0])
print("ajustement : g = %.2f +/- %.2f m/s^2, v0 = %.2f m/s"
      % (g, dg, c[1]))

L'exécution affiche :

v (m/s)   : [3.5 3.  2.5 2. ]
a (m/s^2) : [-12.  -8. -12.  -8.]
ajustement : g = 10.00 +/- 0.22 m/s^2, v0 = 4.00 m/s

L'ajustement donne $g=(10,0\pm 0,2)\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ (incertitude-type tirée de la matrice de covariance), compatible avec $9,81\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ à un écart-type près, là où les différences secondes s'étalaient de $8$ à $12$. Les résidus, de l'ordre du millimètre, sont sous la précision de pointage : le modèle de chute libre décrit bien les données. La vitesse initiale $v_0\approx 4,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ correspond à une élévation $v_0^2/(2g)\approx 0,8\mathrm{m}$ : un saut d'athlète, plausible.

Le point délicat. Ajuster une parabole suppose le modèle (accélération constante) ; l'ajustement mesure $g$, il ne démontre pas la chute libre. Le contrôle est la taille des résidus : s'ils dépassaient nettement la précision de pointage, le modèle serait à rejeter.

Ce que l'exercice installe. La capacité expérimentale du programme (exploiter un pointage vidéo) avec son vrai piège : dériver une mesure amplifie son bruit, d'autant plus que le pas est petit. Le réflexe est de chiffrer l'erreur ($\delta /\Delta t$, $4\delta /\Delta t^2$), de valider la méthode sur un cas où l'on connaît la réponse, et de préférer un ajustement global à une dérivation locale quand un modèle est disponible.