Mouvement circulaire uniformément accéléré

Ce qu'on a le droit d'utiliser. En polaires, sur un cercle ($r=R$ constant, donc $\dot{r}=\ddot{r}=0$), le cours donne $$\overrightarrow{v}=R\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta },\overrightarrow{a}=-R{\dot{\theta }}^2{\overrightarrow{u}}_r+R\ddot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }.$$ Sur un cercle parcouru dans le sens des $\theta$ croissants, ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$ est le vecteur tangent ${\overrightarrow{u}}_T$ et $-{\overrightarrow{u}}_r$ le vecteur normal ${\overrightarrow{u}}_N$ (dirigé vers le centre).

1) Vitesse et accélération. $\dot{\theta }=\beta t$ et $\ddot{\theta }=\beta$. Donc $$\overrightarrow{v}=R\beta t{\overrightarrow{u}}_{\theta },\overrightarrow{a}=-R{\beta }^2{t}^2{\overrightarrow{u}}_r+R\beta {\overrightarrow{u}}_{\theta },a_T=R\beta ,a_N=R{\beta }^2{t}^2.$$ La norme de la vitesse croît linéairement : le mouvement n'est pas uniforme. L'accélération tangentielle est constante ; l'accélération normale croît comme $t^2$, c'est-à-dire comme $v^2/R$.

2) L'angle entre $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{v}$. La vitesse est portée par ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$ ; l'accélération a une composante $R\beta$ le long de $\overrightarrow{v}$ et une composante $R{\beta }^2{t}^2$ perpendiculaire. Donc $$\tan \phi =\frac{a_N}{a_T}=\frac{R{\beta }^2{t}^2}{R\beta }=\beta t^2=2\theta .$$ L'angle entre l'accélération et la vitesse ne dépend que de l'angle parcouru : ni de $R$, ni de $\beta$. Les deux composantes sont égales pour $\theta =0,5\mathrm{rad}\approx 29^{\circ }$ : après un douzième de tour, l'accélération est déjà majoritairement centripète.

Le point délicat. L'accélération d'un mouvement circulaire n'est centripète que si le mouvement est uniforme. Ici elle ne l'est jamais exactement : elle penche vers l'avant, d'un angle $\pi /2-\phi$ qui tend vers zéro.

3) La norme. $\Vert \overrightarrow{a}\Vert =\sqrt{a_T^2+a_N^2}=R\beta \sqrt{1+{\beta }^2{t}^4}=R\beta \sqrt{1+4{\theta }^2}$. Homogénéité : $R\beta$ est en $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, et $\theta$ est sans dimension.

4) La centrifugeuse. À la fin de la montée, $a_N=R{\omega }_1^2=9g$, donc $${\omega }_1=\sqrt{\frac{9g}{R}}=\sqrt{\frac{88,3}{8,0}}\approx 3,32\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1},$$ soit environ $32$ tours par minute, et $v_1=R{\omega }_1\approx 26,6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\approx 96\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$. L'accélération angulaire est $\beta ={\omega }_1/t_1\approx 0,332\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-2}$ et $a_T=R\beta \approx 2,66\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, soit $0,27g$. L'angle parcouru est ${\theta }_1=\frac{1}{2}{\omega }_1{t}_1\approx 16,6\mathrm{rad}$, soit $2,6$ tours, et $\tan {\phi }_1=2{\theta }_1\approx 33$, ${\phi }_1\approx 88,3^{\circ }$ : en fin de montée, l'accélération est presque exactement centripète.

Commentaire. L'accélération endurée est presque entièrement normale ; les $0,27g$ tangentiels de la mise en vitesse sont négligeables. Les $9g$ sont l'ordre de grandeur de ce que supporte un pilote de chasse entraîné, avec combinaison anti-g.

Ce que l'exercice installe. Les composantes polaires de l'accélération sur un cercle, $-R{\dot{\theta }}^2{\overrightarrow{u}}_r+R\ddot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }$, et leur lecture en repère de Frenet : la composante tangentielle mesure la variation de la norme de la vitesse, la composante normale celle de sa direction. Le résultat $\tan \phi =2\theta$ apprend aussi à chercher, dans un résultat, ce dont il ne dépend pas : c'est souvent là qu'est la physique.