Problème : la parabole de sûreté

1) La trajectoire, trinôme en $u$. Le cours donne, pour un lancer depuis l'origine, $x(t)=v_0\cos \alpha t$ et $y(t)=v_0\sin \alpha t-\frac{1}{2}g{t}^2$ ; en éliminant le temps par $t=x/(v_0\cos \alpha )$ : $$y=x\tan \alpha -\frac{g{x}^2}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }.$$ On remplace $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha =1+u^2$ : $$y=xu-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}(1+u^2),\text{soit}\frac{g{x}^2}{2v_0^2}{u}^2-xu+\left(y+\frac{g{x}^2}{2v_0^2}\right)=0.$$ Le point clé est ce changement de point de vue : au lieu de lire cette relation comme l'équation d'une trajectoire (inconnues $x$, $y$ ; angle donné), on la lit comme une équation en l'angle ($u$ inconnu ; point $(x,y)$ donné). Elle dit quels angles font passer par un point donné.

2) La condition d'atteinte. La cible $(X,Y)$ est atteinte si et seulement s'il existe un réel $u$ (et donc un angle $\alpha =\arctan u$ dans $]-\pi /2,\pi /2[$) solution du trinôme avec $x=X$, $y=Y$. Notons $k=\frac{g{X}^2}{2v_0^2}>0$. Le trinôme $k{u}^2-Xu+(Y+k)$ a une racine réelle si et seulement si son discriminant est positif ou nul : $$\Delta =X^2-4k(Y+k)\ge 0⟺Y\le \frac{X^2}{4k}-k=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g{X}^2}{2v_0^2}.$$ C'est la condition annoncée. La courbe $Y_s(X)=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g{X}^2}{2v_0^2}$ est une parabole d'axe vertical, de sommet $(0,v_0^2/(2g))$ — la hauteur atteinte par un tir vertical — tournée vers le bas : la parabole de sûreté.

Pour une cible strictement intérieure, $\Delta >0$ : deux angles conviennent, le plus petit pour le tir tendu, le plus grand pour le tir en cloche ; sur la parabole, ils se confondent. Pour $Y=0$, le produit des racines vaut $(Y+k)/k=1$ : $\tan {\alpha }_1\tan {\alpha }_2=1$, les deux angles sont complémentaires ($30^{\circ }$ et $60^{\circ }$ donnent la même portée).

Application. Avec $v_0=10\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $Y_s(6,0)=\frac{100}{19,62}-\frac{9,81\times 36}{200}\approx 3,33\mathrm{m}$ : la cible à $1,0\mathrm{m}$ de hauteur est atteignable. La résolution du trinôme donne ${\alpha }_1\approx 28,8^{\circ }$ (tir tendu) et ${\alpha }_2\approx 70,7^{\circ }$ (tir en cloche).

3) Une enveloppe. Fixons un angle, donc $u$, et comparons la trajectoire $y(x)$ à la parabole de sûreté $Y_s(x)$ pour tout $x>0$. Par différence, $$Y_s(x)-y(x)=\frac{v_0^2}{2g}-xu+\frac{g{x}^2}{2v_0^2}{u}^2=\frac{g{x}^2}{2v_0^2}{\left(u-\frac{v_0^2}{gx}\right)}^2,$$ ce qu'on vérifie en développant le carré. Cette différence est positive ou nulle et ne s'annule qu'en $x_T=\frac{v_0^2}{gu}$ (si $u>0$) : chaque trajectoire reste sous la parabole de sûreté et la touche en un point unique, avec un zéro double, donc avec la même tangente. La parabole de sûreté est l'enveloppe des trajectoires ; au point de contact, on reconnaît la racine double $u=v_0^2/(gX)$ de la question 2.

Physiquement, un point situé au-dessus de la parabole de sûreté n'est sur aucune trajectoire : c'est la frontière de la zone de sécurité autour d'un canon ou d'un feu d'artifice — d'où son nom.

4) Les portées maximales. Sol horizontal. Le point le plus lointain atteignable sur $Y=0$ est l'intersection de la parabole de sûreté avec l'axe : $\frac{v_0^2}{2g}=\frac{g{X}^2}{2v_0^2}$, soit $X_{\max }=\frac{v_0^2}{g}$, atteint pour la racine double $u=\frac{v_0^2}{g{X}_{\max }}=1$, c'est-à-dire $\alpha =45^{\circ }$. On retrouve le résultat du cours, sans dérivée.

Plan incliné. Un point du plan, $(X,X\tan \beta )$, est atteignable si et seulement si $X\tan \beta \le \frac{v_0^2}{2g}-\frac{g{X}^2}{2v_0^2}$. Le point le plus lointain est l'intersection du plan et de la parabole de sûreté : en posant $\Lambda =v_0^2/g$, l'équation $X^2+2\Lambda \tan \beta X-{\Lambda }^2=0$ a pour racine positive $$X^{\ast }=\Lambda \left(\sqrt{1+{\tan }^2\beta }-\tan \beta \right)=\Lambda \frac{1-\sin \beta }{\cos \beta }.$$ La portée mesurée le long du plan est $D_{\max }=\frac{X^{\ast }}{\cos \beta }=\Lambda \frac{1-\sin \beta }{{\cos }^2\beta }=\Lambda \frac{1-\sin \beta }{1-{\sin }^2\beta }$, d'où $$D_{\max }=\frac{v_0^2}{g(1+\sin \beta )}.$$ L'angle optimal est donné par la racine double : $u^{\ast }=\frac{v_0^2}{g{X}^{\ast }}=\frac{\cos \beta }{1-\sin \beta }$. Or, avec $\beta =2\gamma$ et les formules de l'angle double, $\frac{\cos \beta }{1-\sin \beta }=\frac{\cos \gamma +\sin \gamma }{\cos \gamma -\sin \gamma }=\tan \left(\frac{\pi }{4}+\gamma \right)$. Donc $${\alpha }^{\ast }=\frac{\pi }{4}+\frac{\beta }{2}.$$ Lecture géométrique : ${\alpha }^{\ast }-\beta =\frac{\pi }{2}-{\alpha }^{\ast }$ ; la direction de tir optimale est la bissectrice de l'angle entre le plan incliné et la verticale.

Application. $v_0=10\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $\beta =20^{\circ }$ : $D_{\max }=\frac{100}{9,81\times 1,342}\approx 7,60\mathrm{m}$, pour ${\alpha }^{\ast }=55^{\circ }$ (contre $10,2\mathrm{m}$ à $45^{\circ }$ sur sol plat). Un balayage numérique de la portée en fonction de l'angle redonne $7,60\mathrm{m}$ à $55,0^{\circ }$.

5) Le lancer du poids. On place l'origine au point de lâcher ; le sol est la droite $Y=-h$. Le point d'impact le plus lointain est l'intersection de la parabole de sûreté avec cette droite : $$-h=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g{X}^2}{2v_0^2}⟺X^2=\frac{v_0^2}{g}\left(\frac{v_0^2}{g}+2h\right)⟺X_{\max }=\frac{v_0}{g}\sqrt{v_0^2+2gh}.$$ L'angle optimal vient encore de la racine double : $\tan {\alpha }^{\ast }=\frac{v_0^2}{g{X}_{\max }}=\frac{v_0}{\sqrt{v_0^2+2gh}}$. Numériquement, $\sqrt{196+39,2}\approx 15,34\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, d'où $$X_{\max }=\frac{14}{9,81}\times 15,34\approx 21,9\mathrm{m},\tan {\alpha }^{\ast }\approx 0,913,{\alpha }^{\ast }\approx 42,4^{\circ }.$$ À $45^{\circ }$, le calcul direct de la portée (instant d'impact solution de $-h=v_0\sin \alpha t-\frac{1}{2}g{t}^2$) donne $21,81\mathrm{m}$ : on ne perd que $8\mathrm{cm}$. À $40^{\circ }$, $21,82\mathrm{m}$ ; à $38^{\circ }$, $21,68\mathrm{m}$ ; à $35^{\circ }$, $21,29\mathrm{m}$.

Pourquoi l'écart est-il si faible ? Parce que la portée est maximale en ${\alpha }^{\ast }$ : sa dérivée y est nulle, et un écart $\epsilon$ à l'optimum ne coûte qu'une perte d'ordre ${\epsilon }^2$ (de $42,4^{\circ }$ à $38^{\circ }$, $21\mathrm{cm}$, un pourcent). Or le corps humain lance plus vite à plat : $v_0$ diminue quand l'angle augmente, ce que ce modèle à $v_0$ fixée ne voit pas ; sacrifier un peu d'angle pour gagner de la vitesse est payant. L'ordre de grandeur est juste : $22\mathrm{m}$, contre un record du monde masculin proche de $23\mathrm{m}$.

6) Homogénéité et cas limites. Homogénéité. $v_0^2/g$ est en ${\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}/(\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2})=\mathrm{m}$ : $Y_s$, $X_{\max }$ et $D_{\max }$ sont des longueurs ; $g{X}^2/v_0^2$ aussi ; dans $\sqrt{v_0^2+2gh}$, $gh$ est bien le carré d'une vitesse ; $\tan {\alpha }^{\ast }$ est un rapport de vitesses, sans dimension.

$h\to 0$ : $\tan {\alpha }^{\ast }\to 1$, ${\alpha }^{\ast }\to 45^{\circ }$ et $X_{\max }\to v_0^2/g$ — le cas du sol horizontal. Pour $h>0$, l'angle optimal est inférieur à $45^{\circ }$ : lancé d'en haut, on a intérêt à tirer plus à plat, puisque la chute supplémentaire allonge le vol.

$\beta \to 0$ : $D_{\max }\to v_0^2/g$ et ${\alpha }^{\ast }\to 45^{\circ }$. $\beta \to \pi /2$ : le « plan » est un mur vertical, $D_{\max }\to \frac{v_0^2}{2g}$ et ${\alpha }^{\ast }\to 90^{\circ }$ — la hauteur d'un tir vertical, sommet de la parabole de sûreté.

Le résultat obtenu — la parabole de sûreté. Pour un tir de vitesse initiale $v_0$ fixée dans un champ de pesanteur uniforme $g$, sans frottement, l'ensemble des points atteignables depuis l'origine est la région située sous la parabole $Y=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g{X}^2}{2v_0^2}$ ; chaque trajectoire est tangente à cette parabole, qui en est l'enveloppe ; et la portée maximale dans une direction donnée (sol horizontal, plan incliné, sol en contrebas) est l'intersection de cette direction avec la parabole de sûreté, l'angle optimal étant celui de la trajectoire qui y est tangente.

Ce que le problème installe. Changer d'inconnue — lire la trajectoire comme une équation en l'angle — transforme une optimisation en condition de discriminant, sans une dérivée. Et un optimum est plat : c'est ce qui rend les choix optimaux robustes, et ajustables à des contraintes que le modèle ignore.