Traverser une rivière

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le caractère absolu des durées et des distances. Si $O^{\prime }$ est un bouchon qui flotte (origine du référentiel de l'eau), $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}+\overrightarrow{O^{\prime }M}$ ; en dérivant par rapport au temps, le même dans les deux référentiels, et parce que les axes de l'eau ne tournent pas par rapport à ceux du sol, on obtient l'addition des vitesses : $${\overrightarrow{v}}_{/\mathrm{sol}}={\overrightarrow{v}}_{/\mathrm{eau}}+\overrightarrow{w}.$$ La stratégie est de projeter cette relation sur deux axes bien choisis.

1) La vitesse par rapport au sol. Le nageur a la vitesse $u$ par rapport à l'eau : c'est ce que ses bras produisent en poussant sur l'eau qui l'entoure. On prend l'axe $Oy$ perpendiculaire aux berges, orienté vers la berge d'arrivée, et l'axe $Ox$ le long des berges, orienté dans le sens du courant. Le cap fait l'angle $\theta$ avec $Oy$, compté vers l'amont, c'est-à-dire vers les $x$ négatifs : $${\overrightarrow{v}}_{/\mathrm{eau}}=-u\sin \theta {\overrightarrow{u}}_x+u\cos \theta {\overrightarrow{u}}_y,\overrightarrow{w}=w{\overrightarrow{u}}_x,$$ d'où $${\overrightarrow{v}}_{/\mathrm{sol}}=(w-u\sin \theta ){\overrightarrow{u}}_x+u\cos \theta {\overrightarrow{u}}_y.$$ La composante perpendiculaire aux berges, $u\cos \theta$, ne dépend pas du courant : c'est elle seule qui fait traverser. La composante parallèle, $w-u\sin \theta$, est la vitesse de dérive.

2) Arriver en face. Il faut une dérive nulle, donc une vitesse par rapport au sol perpendiculaire aux berges : $w-u\sin \theta =0$, soit $$\sin \theta =\frac{w}{u}=0,6,\theta \approx 36,9^{\circ }\text{ vers l’amont}.$$ La traversée se fait alors à la vitesse $u\cos \theta =u\sqrt{1-w^2/u^2}=\sqrt{u^2-w^2}=0,8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, et dure $$T_2=\frac{L}{\sqrt{u^2-w^2}}=\frac{60}{0,8}=75\mathrm{s}.$$ Le point délicat. Cette solution n'existe que si $w\le u$ : un sinus ne dépasse pas $1$. On y reviendra à la question 4.

3) Traverser au plus vite. La durée de la traversée est $T(\theta )=\frac{L}{u\cos \theta }$ : elle ne dépend que de la composante perpendiculaire, et elle est minimale quand $\cos \theta =1$, c'est-à-dire $\theta =0$ — on nage perpendiculairement aux berges, sans s'occuper du courant. Alors $$T_3=\frac{L}{u}=60\mathrm{s},d_3=w{T}_3=0,6\times 60=36\mathrm{m}.$$ On gagne $15\mathrm{s}$ par rapport à la question 2, au prix d'une dérive de $36\mathrm{m}$. Les deux objectifs « arriver vite » et « arriver en face » sont incompatibles.

4) Le courant trop fort. Avec $w=1,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}>u$, la condition $\sin \theta =w/u$ n'a plus de solution : il est impossible d'arriver en face. On cherche alors à dériver le moins possible.

La dérive. La traversée dure $L/(u\cos \theta )$, pendant laquelle le nageur glisse le long de la berge à la vitesse $w-u\sin \theta$ (positive pour tout cap, puisque $u\sin \theta \le u<w$) : $$d(\theta )=(w-u\sin \theta )\frac{L}{u\cos \theta }=L\frac{w-u\sin \theta }{u\cos \theta },\theta \in \left]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right[.$$

La minimisation. On dérive par rapport à $\theta$, en notant $N=w-u\sin \theta$ et $D=u\cos \theta$ : $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\left(\frac{N}{D}\right)=\frac{N^{\prime }D-N{D}^{\prime }}{D^2}=\frac{-u^2{\cos }^2\theta +(w-u\sin \theta )u\sin \theta }{u^2{\cos }^2\theta }=\frac{w\sin \theta -u}{u{\cos }^2\theta }.$$ Le numérateur $w\sin \theta -u$ est croissant en $\theta$ ; il est négatif pour $\sin \theta <u/w$ et positif au-delà. La dérive décroît donc, puis croît : elle est minimale pour $$\sin {\theta }^{\ast }=\frac{u}{w}.$$ En ce point, $\cos {\theta }^{\ast }=\sqrt{1-u^2/w^2}=\frac{\sqrt{w^2-u^2}}{w}$ et $w-u\sin {\theta }^{\ast }=\frac{w^2-u^2}{w}$, donc $$d_{\min }=L\frac{(w^2-u^2)/w}{u\sqrt{w^2-u^2}/w}=L\frac{\sqrt{w^2-u^2}}{u}.$$

L'interprétation géométrique. L'extrémité de ${\overrightarrow{v}}_{/\mathrm{sol}}=\overrightarrow{w}+{\overrightarrow{v}}_{/\mathrm{eau}}$ décrit un cercle de rayon $u$ centré à l'extrémité de $\overrightarrow{w}$. Quand $w>u$, ce cercle ne contient pas le point de départ : toutes les vitesses accessibles pointent vers l'aval. La dérive est minimale quand la direction de ${\overrightarrow{v}}_{/\mathrm{sol}}$ est tangente au cercle ; en ce point, le rayon est perpendiculaire à la tangente, ${\overrightarrow{v}}_{/\mathrm{eau}}\perp {\overrightarrow{v}}_{/\mathrm{sol}}$, et le triangle rectangle d'hypoténuse $\overrightarrow{w}$ donne exactement $\sin {\theta }^{\ast }=u/w$.

5) Applications numériques et cas limite. Avec $u=1,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $w=1,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $${\theta }^{\ast }=\arcsin \frac{2}{3}\approx 41,8^{\circ },d_{\min }=60\times \frac{\sqrt{2,25-1}}{1,0}\approx 67,1\mathrm{m},T=\frac{L}{u\cos {\theta }^{\ast }}\approx 80,5\mathrm{s}.$$ À comparer avec le nageur qui file perpendiculairement aux berges ($\theta =0$) : il traverse en $60\mathrm{s}$ mais dérive de $1,5\times 60=90\mathrm{m}$. Viser vers l'amont fait gagner $23\mathrm{m}$ de dérive au prix de $20\mathrm{s}$. Un balayage numérique de $d(\theta )$ redonne ce minimum.

Homogénéité. $\sqrt{w^2-u^2}/u$ est un rapport de vitesses, sans dimension ; $d_{\min }$ a donc la dimension de $L$, une longueur.

Cas limite $w\to u^{+}$. Alors $\sin {\theta }^{\ast }\to 1$ : il faut nager presque face au courant, $d_{\min }\to 0$ — on retrouve la possibilité d'arriver en face — mais la composante transversale $u\cos {\theta }^{\ast }$ tend vers zéro et la durée de traversée tend vers l'infini. Le résultat de la question 2 et celui de la question 4 se raccordent continûment, au prix d'une traversée infiniment longue.

Ordre de grandeur. Un courant de $1,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ (plus de $5\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$) est celui d'une rivière en crue ou d'un courant d'arrachement sur une plage ; la consigne de sécurité — ne pas lutter de face — est le contenu de cet exercice.

Ce que l'exercice installe. Le changement de référentiel découple les deux effets (la traversée, que seul le nageur produit ; la dérive, que le courant impose). Le réflexe est d'écrire ${\overrightarrow{v}}_{/\mathrm{sol}}={\overrightarrow{v}}_{/\mathrm{eau}}+\overrightarrow{w}$, de projeter sur l'axe où un seul effet joue, et de dessiner le cercle des vitesses accessibles, qu'on retrouve en navigation et en aviation (vent de travers).