Deux masses reliées par un fil à travers un trou

La stratégie. Une conservation du moment cinétique (pour le palet seul) et une conservation de l'énergie (pour le système) réduisent un problème à deux degrés de liberté à une équation en $r$ seul. On cherche ensuite son équilibre et on le linéarise, comme au chapitre des oscillateurs.

1) La constante des aires. Sur le palet s'exercent le poids et la réaction de la table, verticaux, et la tension du fil, dirigée vers le trou $O$. Par rapport à l'axe vertical passant par $O$, les deux premières ont un moment nul (parallèles à l'axe) et la troisième aussi (droite d'action passant par $O$). Le moment cinétique $m{r}^2\dot{\theta }$ du palet se conserve, donc $C=r^2\dot{\theta }$ est constant.

2) L'énergie du système. Le fil étant inextensible, la masse $M$ remonte quand le palet s'éloigne du trou : sa cote vaut $z_M=r-\lambda$, où $\lambda$ est la longueur totale du fil, et sa vitesse ${\dot{z}}_M=\dot{r}$. Les deux brins du fil exercent des tensions de même norme $T$ (fil sans masse, trou sans frottement). Leurs puissances se compensent : sur le palet, $\overrightarrow{T}\cdot \overrightarrow{v}=-T\dot{r}$ ; sur la masse $M$, la tension est dirigée vers le haut et vaut $+T{\dot{z}}_M=T\dot{r}$. Les réactions de la table ne travaillent pas, le poids dérive d'une énergie potentielle : l'énergie mécanique du système se conserve, $$\mathcal{E}=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2)+\frac{1}{2}M{\dot{r}}^2+Mgr+\text{cte}=\frac{1}{2}(m+M){\dot{r}}^2+\frac{m{C}^2}{2r^2}+Mgr+\text{cte}.$$ En dérivant par rapport au temps et en divisant par $\dot{r}$ (pour un mouvement où $\dot{r}$ n'est pas identiquement nul) : $$(m+M)\ddot{r}=\frac{m{C}^2}{r^3}-Mg.$$ C'est l'équation d'un point de masse $m+M$ soumis à une force radiale effective : le terme $\frac{m{C}^2}{r^3}$ repousse du trou (c'est l'effet de la rotation), le poids de $M$ y ramène.

3) L'orbite circulaire. $r=r_0$ constant exige $\frac{m{C}^2}{r_0^3}=Mg$, soit $C^2=\frac{Mg{r}_0^3}{m}$. La vitesse angulaire vaut $${\omega }_{\theta }=\frac{C}{r_0^2}=\sqrt{\frac{Mg}{m{r}_0}}=\sqrt{\frac{0,10\times 9,81}{0,20\times 0,30}}\approx 4,04\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1},$$ et l'on vérifie que la tension $Mg$ fournit exactement l'accélération centripète $m{r}_0{\omega }_{\theta }^2$ du palet. Sa vitesse vaut $1,2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

4) Stabilité et pulsation radiale. On pose $r=r_0+\epsilon$ avec $|\epsilon |\ll r_0$, à $C$ fixé. Le développement $\frac{1}{(r_0+\epsilon {)}^3}\approx \frac{1}{r_0^3}(1-\frac{3\epsilon }{r_0})$ donne $$(m+M)\ddot{\epsilon }=\frac{m{C}^2}{r_0^3}-\frac{3m{C}^2}{r_0^4}\epsilon -Mg=-\frac{3Mg}{r_0}\epsilon ,$$ en utilisant la condition d'équilibre. C'est l'équation d'un oscillateur harmonique : l'orbite circulaire est stable, et les petites oscillations radiales ont la pulsation $${\omega }_r=\sqrt{\frac{3Mg}{(m+M)r_0}}=\sqrt{\frac{3\times 0,10\times 9,81}{0,30\times 0,30}}\approx 5,72\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1},\frac{{\omega }_r}{{\omega }_{\theta }}=\sqrt{\frac{3m}{m+M}}=\sqrt{2}.$$ Vérification d'homogénéité : $\frac{Mg}{(m+M)r_0}$ est une accélération divisée par une longueur, l'inverse d'un temps au carré. (Une intégration numérique de l'équation radiale, partant de $r=1,01r_0$, donne une période radiale de $1,099\mathrm{s}$, égale à $2\pi /{\omega }_r$.)

5) La trajectoire est-elle fermée ? Pendant une période radiale, l'angle polaire augmente de ${\omega }_{\theta }\cdot \frac{2\pi }{{\omega }_r}=\frac{2\pi }{\sqrt{2}}$, soit environ $255°$. La trajectoire se referme si, après un nombre entier de périodes radiales, l'angle a tourné d'un nombre entier de tours, c'est-à-dire si ${\omega }_r/{\omega }_{\theta }$ est rationnel. Ici $\sqrt{2}$ ne l'est pas : la trajectoire est une rosace qui ne se referme jamais. Elle est fermée au premier ordre, et de la forme la plus simple (une oscillation radiale par tour), si $\frac{3m}{m+M}=1$, c'est-à-dire $M=2m$. Si $M\gg m$, ${\omega }_r/{\omega }_{\theta }\to 0$ : l'inertie de la masse suspendue rend l'oscillation radiale très lente devant la rotation. Si $M\ll m$, ${\omega }_r/{\omega }_{\theta }\to \sqrt{3}$, valeur limite qu'on ne peut pas dépasser.

Ce que l'exercice installe. La réduction d'un problème à deux degrés de liberté à une équation radiale, par la conservation du moment cinétique ; l'apparition du terme $\frac{m{C}^2}{r^3}$, qui sera la « force centrifuge » de l'énergie potentielle effective ; la linéarisation au voisinage d'une orbite circulaire ; et le critère de fermeture des trajectoires par le rapport des pulsations, qu'on retrouvera pour expliquer pourquoi les orbites de Kepler, elles, sont fermées.