Deux patineurs qui se croisent

La stratégie. Le moment cinétique d'un système de points par rapport à un axe est la somme algébrique des moments des points : on calcule chaque contribution avec son signe, on additionne, puis on utilise la formule de changement de point de l'exercice 1 pour savoir de quoi dépend le résultat.

1) Quantité de mouvement. Les deux vitesses sont opposées et les masses égales : $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}+m(-\overrightarrow{v})=\overrightarrow{0}$. Le système, dans son ensemble, n'avance pas.

2) Moment cinétique. Prenons $I$ pour origine, ${\overrightarrow{u}}_x$ le long des trajectoires, et plaçons le patineur 1 sur la droite $y=d/2$, avançant selon $+{\overrightarrow{u}}_x$, le patineur 2 sur la droite $y=-d/2$, avançant selon $-{\overrightarrow{u}}_x$. Pour le patineur 1, $\overrightarrow{I{M}_1}=x_1{\overrightarrow{u}}_x+\frac{d}{2}{\overrightarrow{u}}_y$ et $$\overrightarrow{I{M}_1}\wedge mv{\overrightarrow{u}}_x=\frac{d}{2}mv{\overrightarrow{u}}_y\wedge {\overrightarrow{u}}_x=-\frac{mvd}{2}{\overrightarrow{u}}_z,$$ et pour le patineur 2, $(x_2{\overrightarrow{u}}_x-\frac{d}{2}{\overrightarrow{u}}_y)\wedge (-mv{\overrightarrow{u}}_x)=\frac{d}{2}mv{\overrightarrow{u}}_y\wedge {\overrightarrow{u}}_x=-\frac{mvd}{2}{\overrightarrow{u}}_z$. Avec $\overrightarrow{u}={\overrightarrow{u}}_z$ vers le haut, $$L_{\Delta }=-\frac{mvd}{2}-\frac{mvd}{2}=-mvd=-60\times 3,0\times 1,5=-270\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Le signe moins dit que le système tourne dans le sens horaire vu d'en haut, avec cette disposition. Les deux contributions ont le même signe parce que les deux patineurs, l'un d'un côté de $I$ et dans un sens, l'autre de l'autre côté et dans l'autre sens, tournent tous deux dans le même sens autour de $I$ : chacun a un bras de levier $d/2$, et chacun « contourne » $I$ du même côté. Alors que les quantités de mouvement se compensent, les moments cinétiques s'ajoutent.

Pour un axe passant par un autre point $P$, la formule de changement de point, sommée sur les deux patineurs, donne ${\overrightarrow{L}}_P={\overrightarrow{L}}_I+\overrightarrow{PI}\wedge {\overrightarrow{p}}_{\text{tot}}$. Comme ${\overrightarrow{p}}_{\text{tot}}=\overrightarrow{0}$, ${\overrightarrow{L}}_P={\overrightarrow{L}}_I$ : le moment cinétique d'un système de quantité de mouvement nulle est le même en tout point. C'est une « rotation pure », que l'on peut décrire depuis n'importe quel point.

3) La corde. Après la prise, chaque patineur est soumis à son poids, à la réaction de la glace (verticale, puisqu'il n'y a pas de frottement) et à la tension de la corde. Poids et réaction se compensent, la glace étant horizontale. Les tensions aux deux extrémités d'une corde de masse négligeable sont opposées. En sommant les deux principes fondamentaux de la dynamique, $m{\overrightarrow{a}}_1+m{\overrightarrow{a}}_2=\overrightarrow{0}$ : le milieu $G$ des deux patineurs, qui est le milieu de la corde, a une accélération nulle. Sa vitesse est $\frac{{\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2}{2}=\overrightarrow{0}$, et il est en $I$ à l'instant du croisement : il reste en $I$.

Pour chaque patineur, le poids et la réaction sont verticaux, parallèles à $\Delta$ : leur moment par rapport à $\Delta$ est nul. La tension est dirigée le long de la corde, vers l'autre patineur ; sa droite d'action passe donc par le milieu de la corde, $I$, qui est sur $\Delta$ : son bras de levier est nul. Le théorème du moment cinétique, appliqué à chaque patineur par rapport à l'axe fixe $\Delta$, donne $\frac{\mathrm{d}{L}_{\Delta ,i}}{\mathrm{d}t}=0$ : le moment cinétique de chacun se conserve, et celui du système aussi. Chaque patineur décrit désormais un cercle de rayon $d/2$ autour de $I$, à la vitesse angulaire $\omega$, et son moment cinétique vaut $m(d/2{)}^2\omega$ en valeur absolue. La conservation s'écrit $$2m(\frac{d}{2}{)}^2\omega =mvd⟹\omega =\frac{2v}{d}=\frac{2\times 3,0}{1,5}=4,0\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1},$$ soit environ $0,64$ tour par seconde.

4) Ni choc, ni perte. $\omega \frac{d}{2}=4,0\times 0,75=3,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}=v$ : chaque patineur garde exactement sa vitesse. C'est cohérent : au moment du croisement, chaque vitesse est perpendiculaire à la corde, qui se tend donc sans à-coup — elle n'a aucune composante de vitesse à annuler. L'énergie cinétique, $2\times \frac{1}{2}m{v}^2=540\mathrm{J}$, est inchangée. Ensuite, la tension fournit l'accélération centripète : $T=\frac{m{v}^2}{d/2}=\frac{60\times 9,0}{0,75}=720\mathrm{N}$, le poids d'une personne de soixante-treize kilogrammes, que chaque patineur doit tenir à bout de bras.

Ce que l'exercice installe. Le caractère algébrique du moment cinétique d'un système : des quantités de mouvement opposées peuvent donner des moments qui s'ajoutent. La formule de changement de point, appliquée à un système de quantité de mouvement nulle. Et le réflexe de chercher, pour chaque point du système, une force dont la droite d'action passe par l'axe.