Paramètre d'impact et changement de point

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition ${\overrightarrow{L}}_O=\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{p}$, la bilinéarité et l'antisymétrie du produit vectoriel, le théorème du moment cinétique en un point fixe.

1) La formule de changement de point. On décompose $\overrightarrow{O^{\prime }M}=\overrightarrow{O^{\prime }O}+\overrightarrow{OM}$, et la bilinéarité du produit vectoriel donne $${\overrightarrow{L}}_{O^{\prime }}=\overrightarrow{O^{\prime }M}\wedge \overrightarrow{p}=\overrightarrow{O^{\prime }O}\wedge \overrightarrow{p}+\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{p}={\overrightarrow{L}}_O+\overrightarrow{O^{\prime }O}\wedge \overrightarrow{p}.$$ Le moment cinétique est donc le même en tout point si et seulement si $\overrightarrow{O^{\prime }O}\wedge \overrightarrow{p}=\overrightarrow{0}$ pour tous $O$, $O^{\prime }$, c'est-à-dire si $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{0}$. Pour un point en mouvement, le moment cinétique dépend toujours du point choisi : dire « le moment cinétique » sans préciser le point n'a pas de sens. Il ne change pas, en revanche, quand on déplace le point parallèlement à $\overrightarrow{p}$.

2) Le moment par rapport à un axe. Si $O$ et $O^{\prime }$ sont deux points de $\Delta$, $\overrightarrow{O^{\prime }O}$ est colinéaire à $\overrightarrow{u}$, et le produit mixte $(\overrightarrow{O^{\prime }O}\wedge \overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{u}$ est nul, car un produit vectoriel est orthogonal à chacun de ses deux facteurs. En projetant la formule du 1) sur $\overrightarrow{u}$ : ${\overrightarrow{L}}_{O^{\prime }}\cdot \overrightarrow{u}={\overrightarrow{L}}_O\cdot \overrightarrow{u}$. La grandeur $L_{\Delta }$ ne dépend que de l'axe : c'est ce qui la rend utilisable sans préciser de point.

3) Le paramètre d'impact. Soit $H$ le pied de la perpendiculaire abaissée de $O$ sur $\mathcal{D}$, de sorte que $OH=b$. On écrit $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HM}$ ; or $\overrightarrow{HM}$ est porté par $\mathcal{D}$, donc colinéaire à $\overrightarrow{v}$, et $\overrightarrow{HM}\wedge m\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$. Il reste $${\overrightarrow{L}}_O=\overrightarrow{OH}\wedge m\overrightarrow{v},$$ où $\overrightarrow{OH}$ et $\overrightarrow{v}$ sont constants et orthogonaux : ${\overrightarrow{L}}_O$ est constant, de norme $mvb$, perpendiculaire au plan qui contient $O$ et $\mathcal{D}$. Le théorème du moment cinétique le confirme : aucune force ne s'exerce, le moment des forces est nul, donc $\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{L}}_O}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{0}$. Le paramètre d'impact est le bras de levier de la quantité de mouvement ; il reviendra, au chapitre des forces centrales, pour caractériser une trajectoire de diffusion par son moment cinétique $L=m{v}_{\infty }b$.

4) En coordonnées polaires. Avec $\overrightarrow{OM}=r{\overrightarrow{u}}_r$ et $\overrightarrow{v}=\dot{r}{\overrightarrow{u}}_r+r\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }$ : $${\overrightarrow{L}}_O=r{\overrightarrow{u}}_r\wedge m(\dot{r}{\overrightarrow{u}}_r+r\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta })=m{r}^2\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_r\wedge {\overrightarrow{u}}_{\theta }=m{r}^2\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_z,$$ puisque ${\overrightarrow{u}}_r\wedge {\overrightarrow{u}}_r=\overrightarrow{0}$ et que la base est directe. Seule la composante orthoradiale de la vitesse contribue : un mouvement radial pur, qui s'éloigne ou se rapproche de $O$, a un moment cinétique nul en $O$.

5) Ordres de grandeur. Pour l'électron de Bohr, la vitesse est orthoradiale et $$L=m_{e}vr=9,11\times 10^{-31}\times 2,19\times 10^6\times 5,29\times 10^{-11}\approx 1,055\times 10^{-34}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1},$$ exactement $\hslash$ : c'est la condition de quantification que Bohr avait imposée en 1913, le moment cinétique orbital étant un multiple entier de $\hslash$. Pour la Terre, $L=M_{T}vr\approx 2,7\times 10^{40}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$ : soixante-quatorze ordres de grandeur au-dessus. Enfin, $1\mathrm{J}\mathrm{s}=1\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}\times \mathrm{s}=1\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$ : le moment cinétique a la dimension d'une action, celle de la constante de Planck.

Ce que l'exercice installe. La formule de changement de point, qui dit qu'on ne parle jamais du moment cinétique sans dire « par rapport à quoi », et le fait que le moment par rapport à un axe, lui, ne dépend que de l'axe ; le paramètre d'impact comme bras de levier de la quantité de mouvement ; et l'expression polaire $m{r}^2\dot{\theta }$, qui sera la loi des aires.