Tirer le fil d'une masse qui tourne : d'où vient l'énergie ?

La stratégie. Le théorème du moment cinétique dit ce qui se conserve ; le théorème de l'énergie cinétique dit ce que coûte la transformation. Le point délicat est de ne pas confondre les deux : une force peut avoir un moment nul et travailler.

1) Conservation. Les forces sur le palet sont le poids et la réaction de la table, verticales, donc parallèles à l'axe : moment nul par rapport à l'axe ; et la tension du fil, dirigée vers le trou $O$, qui est sur l'axe : bras de levier nul. Le théorème du moment cinétique par rapport à l'axe fixe donne $\dot{L}=0$, avec $L=m{r}^2\dot{\theta }$ (exercice 1). Donc $$m{r}_1^2{\omega }_1=m{r}_2^2{\omega }_2⟹{\omega }_2={\omega }_1(\frac{r_1}{r_2}{)}^2=2,0\times 4=8,0\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ La vitesse $v=r\omega =L/(mr)$ varie comme $1/r$ : de $1,6$ à $3,2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Le moment cinétique vaut $L=0,50\times 0,64\times 2,0=0,64\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$.

2) L'énergie n'est pas conservée. $E_{c1}=\frac{1}{2}m{r}_1^2{\omega }_1^2=0,64\mathrm{J}$ et $E_{c2}=\frac{1}{2}m{r}_2^2{\omega }_2^2=2,56\mathrm{J}$ : l'énergie cinétique a quadruplé. En l'exprimant avec $L$, $E_c=\frac{L^2}{2m{r}^2}$ (pour un mouvement circulaire) : à $L$ fixé, elle varie comme $1/r^2$. Elle n'est pas conservée parce que la tension travaille : elle est dirigée vers $O$, et pendant la traction le palet se rapproche de $O$, donc a une composante de vitesse le long du fil. La tension a un moment nul par rapport à l'axe — d'où la conservation de $L$ — mais une puissance non nulle.

3) Le travail de l'opérateur. La projection radiale du PFD en polaires s'écrit $m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)=-T$. Si $\ddot{r}$ est négligeable, $T=mr{\dot{\theta }}^2=mr(\frac{L}{m{r}^2}{)}^2=\frac{L^2}{m{r}^3}$. La tension passe de $1,6\mathrm{N}$ à $12,8\mathrm{N}$ : elle croît très vite quand $r$ diminue. Le travail de la tension sur le palet, qui est celui que fournit l'opérateur (le fil est sans masse et le trou sans frottement), vaut, pour un déplacement radial de $r_1$ à $r_2<r_1$ : $$W={\int }_{r_1}^{r_2}(-T)\mathrm{d}r={\int }_{r_2}^{r_1}\frac{L^2}{m{r}^3}\mathrm{d}r=\frac{L^2}{2m}(\frac{1}{r_2^2}-\frac{1}{r_1^2})=\frac{0,64^2}{2\times 0,50}(6,25-1,5625)=1,92\mathrm{J}.$$ C'est exactement $E_{c2}-E_{c1}=2,56-0,64=1,92\mathrm{J}$, comme l'exige le théorème de l'énergie cinétique. L'énergie cinétique supplémentaire est le travail de l'opérateur. On note que ramener le palet jusqu'en $O$ demanderait un travail infini : $W\to \infty$ quand $r_2\to 0$.

4) Le manège et la patineuse. Les forces exercées par le support (axe du manège, glace) passent par l'axe ou lui sont parallèles, et le frottement est négligé : le moment cinétique par rapport à l'axe se conserve. En rapprochant des masses de l'axe, on diminue le facteur $\sum m_i{r}_i^2$, donc la vitesse angulaire augmente. L'énergie cinétique augmente aussi, et elle vient du travail musculaire : l'enfant ou la patineuse tire sur les masses vers l'axe, exactement comme l'opérateur sur le fil. Le « paradoxe » de la patineuse, qui accélère sans rien pousser, n'en est pas un : elle ne crée pas de moment cinétique, elle fournit de l'énergie.

5) Le fil lâché. Plus aucune force horizontale : le palet part en ligne droite à vitesse constante, $v_2=3,2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, tangentiellement au cercle de rayon $r_2$. Son moment cinétique reste $L$ ; d'après l'exercice 1, $L=m{v}_{2}b$, d'où $b=\frac{L}{m{v}_2}=r_2=0,40\mathrm{m}$ : la trajectoire passe à $40\mathrm{cm}$ de $O$, au point même où le fil a été lâché.

Ce que l'exercice installe. Le moment cinétique et l'énergie ne se conservent pas pour les mêmes raisons : le premier exige un moment nul, la seconde une puissance nulle. Une force centrale a toujours un moment nul et travaille dès que la distance au centre varie. Et la forme $\frac{L^2}{2m{r}^2}$ de l'énergie cinétique orthoradiale, qui sera le terme centrifuge de l'énergie potentielle effective.