Trois façons de calculer un moment

La stratégie. Le moment par rapport à un axe est une seule grandeur, ${\mathcal{M}}_{\Delta }=(\overrightarrow{OA}\wedge \overrightarrow{F})\cdot \overrightarrow{u}$ ; mais il se calcule de plusieurs manières, et le point délicat est de savoir à quelle force s'applique la méthode du bras de levier quand la force n'est pas perpendiculaire à l'axe.

1) Poussées perpendiculaires. Une force perpendiculaire à la porte, appliquée à la distance $r$ de l'axe, est horizontale et perpendiculaire au rayon : sa droite d'action est à la distance $r$ de l'axe, et ${\mathcal{M}}_{\Delta }=rF$. À la poignée, $0,80\times 50=40\mathrm{N}\mathrm{m}$ ; près des gonds, $0,10\times 50=5,0\mathrm{N}\mathrm{m}$, huit fois moins. Pour le même effet près des gonds, il faudrait $400\mathrm{N}$ : c'est pourquoi la poignée est au bord libre.

2) Poussée oblique. La force horizontale fait l'angle de $30°$ avec la porte. Sa composante perpendiculaire à la porte vaut $50\sin 30°=25\mathrm{N}$, sa composante le long de la porte est dirigée vers l'axe ou à l'opposé, et sa droite d'action coupe l'axe. Seule la première fait tourner : ${\mathcal{M}}_{\Delta }=aF\sin 30°=0,80\times 50\times 0,50=20\mathrm{N}\mathrm{m}$, deux fois moins qu'en poussant perpendiculairement.

3a) Par le produit vectoriel. On calcule les trois composantes : $$\overrightarrow{OA}\wedge \overrightarrow{F}=\left(\begin{array}{c}0,80\\ 0\\ 1,0\end{array}\right)\wedge \left(\begin{array}{c}-30\\ 40\\ -20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\times (-20)-1,0\times 40\\ 1,0\times (-30)-0,80\times (-20)\\ 0,80\times 40-0\times (-30)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-40\\ -14\\ 32\end{array}\right)\mathrm{N}\mathrm{m}.$$ Le moment par rapport à l'axe est la composante selon ${\overrightarrow{u}}_z$ : ${\mathcal{M}}_{\Delta }=32\mathrm{N}\mathrm{m}$, positif, ce qui veut dire que la force tend à faire tourner la porte dans le sens direct autour de ${\overrightarrow{u}}_z$.

3b) Par le bras de levier. Le point délicat est ici. La méthode du cours, ${\mathcal{M}}_{\Delta }=\pm Fd$, vaut pour une force orthogonale à l'axe. Or $\overrightarrow{F}$ a une composante $F_z$ parallèle à l'axe, dont le moment par rapport à l'axe est nul (on le vérifie : $(\overrightarrow{OA}\wedge F_z{\overrightarrow{u}}_z)\cdot {\overrightarrow{u}}_z=0$). On applique donc la méthode à la seule composante horizontale ${\overrightarrow{F}}_h=F_x{\overrightarrow{u}}_x+F_y{\overrightarrow{u}}_y$, de norme $\sqrt{30^2+40^2}=50\mathrm{N}$, appliquée en $A$. Dans le plan horizontal, sa droite d'action passe par le point $(a,0)$ et a la direction $(-30,40)$ ; sa distance à l'axe (l'origine) vaut $$d=\frac{|a{F}_y-0\times F_x|}{\Vert {\overrightarrow{F}}_h\Vert }=\frac{0,80\times 40}{50}=0,64\mathrm{m},$$ d'où ${\mathcal{M}}_{\Delta }=\Vert {\overrightarrow{F}}_h\Vert d=50\times 0,64=32\mathrm{N}\mathrm{m}$, le signe étant positif puisque la force tend à faire tourner dans le sens direct. Utiliser la norme complète $\Vert \overrightarrow{F}\Vert =\sqrt{30^2+40^2+20^2}\approx 54\mathrm{N}$ aurait été faux.

3c) Par la composante utile. En $A$, la direction radiale est ${\overrightarrow{u}}_x$ (de l'axe vers la poignée) et la direction orthoradiale est ${\overrightarrow{u}}_y$. La composante radiale $F_x$ a une droite d'action qui coupe l'axe : moment nul. La composante axiale $F_z$ : moment nul. Reste la composante orthoradiale, de bras de levier $a$ : ${\mathcal{M}}_{\Delta }=a{F}_y=0,80\times 40=32\mathrm{N}\mathrm{m}$.

Les trois méthodes donnent le même résultat, et c'est la troisième qui est la plus rapide : décomposer la force en composantes axiale, radiale et orthoradiale, et ne garder que la dernière.

4) Ce que deviennent les autres composantes. Les composantes $F_x$ (qui tire la porte vers les gonds, ou l'en écarte) et $F_z$ (qui la pousse vers le bas) ne font pas tourner la porte : elles sont reprises par les gonds, dont les réactions les équilibrent. De même, les composantes horizontales du moment, $-40$ et $-14\mathrm{N}\mathrm{m}$, tendent à faire basculer la porte autour d'axes horizontaux : ce sont les réactions des deux gonds, écartés verticalement, qui exercent les moments opposés. Un axe fixe ne transmet aucun moment selon lui-même (s'il est sans frottement), mais il encaisse tout le reste.

5) Le ferme-porte. Pour ouvrir, il faut ${\mathcal{M}}_{\Delta }\ge 12\mathrm{N}\mathrm{m}$. Le moment $a{F}_y$ est maximal, à norme donnée, quand toute la force est orthoradiale : la force minimale est perpendiculaire à la porte, horizontale, et vaut $F_{\min }=\frac{12}{0,80}=15\mathrm{N}$.

Ce que l'exercice installe. Trois calculs d'une même grandeur, qui doivent concorder ; et le point délicat du bras de levier, qui ne s'applique qu'à la composante de la force orthogonale à l'axe. Le réflexe à garder : décomposer en composantes axiale, radiale, orthoradiale — seule la dernière fait tourner.