mécanique (PCSI) · Chapitre 6 · Application directe du cours

Vitesse au point bas d'un pendule

Moment cinétique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un pendule de longueur $ℓ$ est lâché sans vitesse depuis l'horizontale ( $θ_{0} = π /2$ ). Déterminer sa vitesse angulaire au point bas, par une intégrale première issue du TMC.

Corrigé

Le TMC donne $θ ¨ = - \frac{g}{ℓ} sin θ$ . En multipliant par $θ ˙$ et en intégrant, on obtient l'intégrale première $\frac{1}{2} θ ˙^{2} = \frac{g}{ℓ} cos θ + cte$ . Avec $θ ˙ = 0$ en $θ_{0} = π /2$ ( $cos θ_{0} = 0$ ), la constante est nulle. Au point bas ( $θ = 0$ ) : $\frac{1}{2} θ ˙^{2} = g / ℓ$ , soit $θ ˙ = 2 g / ℓ$ et la vitesse $v = ℓ θ ˙ = 2 g ℓ$ (cohérent avec $v = 2 g h$ , $h = ℓ$ ).

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