L'accélération ressentie dans un virage

Cinématique du point · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une voiture arrive à $20 m / s$ ( $72 km / h$ ) devant un virage circulaire de rayon de courbure $R = 50 m$ . Le conducteur freine régulièrement : sa vitesse diminue au taux constant $\frac{d v}{d t} = - 3, 0 m / s^{2}$ . On étudie l'instant où la voiture entre dans le virage, à $v = 20 m / s$ , dans le repère de Frenet ( $T$ tangent au mouvement, $N$ vers le centre du virage).

Donner l'expression de l'accélération $a$ dans le repère de Frenet et le rôle de chaque terme.
Calculer la composante tangentielle $a_{t}$ et la composante normale $a_{n}$ à l'entrée du virage. Préciser leurs signes.
En déduire la norme $a$ de l'accélération totale. La comparer à $g$ .
Déterminer l'angle $β$ que fait $a$ avec $N$ . Vers où pointe globalement l'accélération ?

Corrigé

1. Dans le repère de Frenet,

$a = \frac{d v}{d t} T + \frac{v ^{2}}{R} N .$

Le terme tangentiel traduit la variation de norme de la vitesse (freinage), le terme normal (toujours vers le centre de courbure) traduit le changement de direction ; il existe même à vitesse constante.

2. Freinage : $a_{t} = \frac{d v}{d t} = - 3, 0 m / s^{2}$ (négatif, vers l'arrière). Composante normale :

$a_{n} = \frac{v ^{2}}{R} = \frac{2 0 ^{2}}{50} = 8, 0 m / s^{2} > 0,$

dirigée vers le centre du virage.

3. Composantes orthogonales :

$a = a_{t}^{2} + a_{n}^{2} = 3, 0^{2} + 8, 0^{2} = 73 \approx 8, 5 m / s^{2},$

soit $\approx 0, 87 g$ : une accélération du même ordre que la pesanteur, nettement ressentie.

4. L'angle entre $a$ et $N$ vérifie

$tan β = \frac{∣ a _{t} ∣}{a _{n}} = \frac{3 , 0}{8 , 0} = 0, 375 \Rightarrow β \approx 2 1^{\circ} .$

L'accélération pointe donc surtout vers le centre du virage (intérieur), légèrement inclinée vers l'arrière à cause du freinage.

Important

Ce que ça nous apprend. Même en ralentissant, une voiture en virage subit une forte accélération, car le terme centripète $v^{2} / R$ domine : tourner, c'est accélérer. Composante de freinage et composante de changement de direction sont orthogonales et indépendantes.