Le chasseur et le singe

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le mouvement à vecteur accélération constant : si $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}$, alors $\overrightarrow{OM}(t)=\frac{1}{2}\overrightarrow{g}{t}^2+{\overrightarrow{v}}_{0}t+{\overrightarrow{OM}}_0$, obtenu en intégrant deux fois. La stratégie est de ne pas calculer les deux paraboles séparément pour chercher leur intersection, mais de regarder la différence des positions.

1) Les deux mouvements. Notons $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{O{S}_0}/O{S}_0$ le vecteur unitaire de la ligne de visée, avec $O{S}_0=\sqrt{D^2+H^2}$. La fléchette part de $O$ avec ${\overrightarrow{v}}_0=v_0\overrightarrow{u}$ ; le singe part de $S_0$ sans vitesse : $$\overrightarrow{OF}(t)=\frac{1}{2}\overrightarrow{g}{t}^2+v_{0}t\overrightarrow{u},\overrightarrow{OS}(t)=\frac{1}{2}\overrightarrow{g}{t}^2+\overrightarrow{O{S}_0}.$$

2) Le mouvement relatif. Par différence, le terme en $\overrightarrow{g}$ disparaît : $$\overrightarrow{SF}(t)=v_{0}t\overrightarrow{u}-\overrightarrow{O{S}_0}=(v_{0}t-O{S}_0)\overrightarrow{u}.$$ Vue du singe, la fléchette se déplace en ligne droite, à vitesse constante $v_0$, le long de la ligne de visée initiale, et elle arrive sur lui à l'instant $t^{\ast }=O{S}_0/v_0$. Deux corps qui ont la même accélération ont un mouvement relatif rectiligne uniforme : la pesanteur fait tomber la fléchette exactement autant que le singe. Viser le singe suffit, quelle que soit $v_0$ — à la condition de la question 3.

Le point délicat. Le raisonnement suppose que le singe lâche exactement à l'instant du tir ; s'il se cramponnait, il faudrait viser au-dessus de lui.

3) La condition sur $v_0$. La rencontre a lieu à $t^{\ast }=\sqrt{D^2+H^2}/v_0$ ; il faut que le singe ne soit pas encore au sol, qu'il atteint au bout de $\sqrt{2H/g}$. Donc $$\frac{\sqrt{D^2+H^2}}{v_0}\le \sqrt{\frac{2H}{g}}⟺v_0\ge v_{0,\min }=\sqrt{\frac{g(D^2+H^2)}{2H}}.$$ Numériquement, $v_{0,\min }=\sqrt{\frac{9,81\times 500}{20}}\approx 15,7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Homogénéité : $g\times (\text{longueur}{)}^2/\text{longueur}$ est en ${\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}$, sa racine est une vitesse.

4) L'impact. Pour $v_0=20\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $t^{\ast }=\frac{\sqrt{500}}{20}\approx 1,12\mathrm{s}$, et le singe est alors à l'altitude $$z^{\ast }=H-\frac{1}{2}g{t}^{\ast 2}=10-\frac{9,81\times 1,25}{2}\approx 3,87\mathrm{m}.$$ Le calcul de l'altitude de la fléchette, $v_0\sin \alpha t^{\ast }-\frac{1}{2}g{t}^{\ast 2}$ avec $\sin \alpha =H/\sqrt{D^2+H^2}$, donne la même valeur, ce qui confirme la rencontre.

Que la fléchette atteigne le singe ne dépend pas de $g$ : le terme en $\overrightarrow{g}$ s'est éliminé. L'altitude de l'impact, elle, en dépend : sur la Lune, $z^{\ast }=10-\frac{1,62\times 1,25}{2}\approx 8,99\mathrm{m}$, et la condition de la question 3 devient $v_0\ge 6,4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

Ordre de grandeur. Une fléchette de sarbacane sort à $15$ à $30\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : la condition est réaliste, et marginale. Une balle de fusil à $300\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ ne chute que de $2,7\mathrm{cm}$ pendant le vol.

Ce que l'exercice installe. Le mouvement à accélération constante, mais surtout le mouvement relatif : quand deux corps subissent la même accélération, se placer dans le référentiel de l'un fait disparaître cette accélération. C'est l'idée qui expliquera, au chapitre 2, pourquoi les astronautes flottent dans leur station : station et astronautes tombent ensemble.