Le dépassement sur l'autoroute — exercice corrigé de mécanique (PTSI) (chapitre 1)

Le dépassement sur l'autoroute

Cinématique du point · niveau 2

Énoncé

Sur la voie de gauche, une berline roule à $130 km / h$ et rattrape un camion avançant à $90 km / h$ , tous deux à vitesse constante. Au début du dépassement, l'avant de la berline est $20 m$ derrière l'arrière du camion. La berline mesure $4, 5 m$ , le camion $18 m$ . Le dépassement s'achève quand l'arrière de la berline est $20 m$ devant l'avant du camion.

Quelle est la vitesse de la berline relativement au camion ? La convertir en $m / s$ .
Quelle distance (dans le référentiel du camion) la berline doit-elle parcourir pour tout le dépassement ?
En déduire la durée du dépassement.
Pendant ce temps, quelle distance la berline parcourt-elle sur la route (référentiel du sol) ?

Corrigé

1. Vitesse relative berline/camion :

$v_{rel} = 130 - 90 = 40 km / h = \frac{40}{3 , 6} \approx 11 m / s .$

2. Dans le référentiel du camion, la berline part $20 m$ derrière l'arrière du camion et finit $20 m$ devant son avant. La distance à combler additionne l'écart arrière, la longueur du camion, la longueur de la berline et l'écart avant :

$d = 20 + 18 + 4, 5 + 20 = 62, 5 m .$

3. À vitesse relative constante, $d = v_{rel} Δ t$ , donc

$Δ t = \frac{d}{v _{rel}} = \frac{62 , 5}{11 , 1} \approx 5, 6 s .$

4. Sur la route, la berline avance à $v_{b} = 130/3, 6 \approx 36 m / s$ pendant $Δ t$ :

$D = v_{b} Δ t \approx 36 \times 5, 6 \approx 200 m .$

La berline reste déboîtée sur environ $200 m$ .

Important

Ce que ça nous apprend. Changer de référentiel transforme un problème à deux mobiles en un seul mouvement : dans le repère du camion, seule compte la vitesse relative, qui donne directement la durée et la longueur d'un dépassement.