Le pendule accéléromètre

La stratégie. On reste dans le référentiel terrestre, galiléen, et l'on écrit la deuxième loi pour l'objet. « Immobile par rapport au wagon » signifie, vu du quai, « même accélération que le wagon ».

a) Wagon à vitesse constante. Si l'objet est immobile par rapport au wagon, il a la même vitesse que lui dans $\mathcal{R}$, donc une vitesse constante : son accélération dans $\mathcal{R}$ est nulle. La deuxième loi donne $\overrightarrow{0}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}$, donc $\overrightarrow{T}=-m\overrightarrow{g}$ : le fil est vertical, et $T=mg$. C'est exactement ce qu'on observerait wagon à l'arrêt : aucune expérience de mécanique faite à l'intérieur ne distingue le wagon roulant à vitesse constante du wagon à l'arrêt.

Le référentiel du wagon est en translation rectiligne uniforme par rapport à $\mathcal{R}$. Un point isolé, rectiligne uniforme dans $\mathcal{R}$, l'est aussi dans le wagon, puisqu'on ajoute à sa vitesse un vecteur constant : le principe d'inertie y est vérifié, le wagon est galiléen lui aussi. Deux référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre, et indiscernables par une expérience de mécanique : c'est le principe de relativité de Galilée.

b) Wagon accéléré. L'objet, immobile par rapport au wagon, a dans $\mathcal{R}$ le même mouvement de translation : son accélération est $\overrightarrow{a}=a{\overrightarrow{u}}_x$, horizontale. Bilan des forces dans $\mathcal{R}$ : le poids $m\overrightarrow{g}=-mg{\overrightarrow{u}}_z$ et la tension $\overrightarrow{T}$, dirigée le long du fil vers le point d'attache. Avec $\theta$ l'angle du fil avec la verticale, $\overrightarrow{T}=T\sin \theta {\overrightarrow{u}}_x+T\cos \theta {\overrightarrow{u}}_z$ si le fil penche vers l'arrière (point d'attache en avant de l'objet). Deuxième loi, projetée : $$\text{sur }{\overrightarrow{u}}_x:T\sin \theta =ma,\text{sur }{\overrightarrow{u}}_z:T\cos \theta -mg=0.$$ Le rapport élimine $T$, la somme des carrés élimine $\theta$ : $$\tan \theta =\frac{a}{g},T=m\sqrt{g^2+a^2}.$$ Le signe de $T\sin \theta =ma>0$ confirme l'hypothèse : l'objet est en arrière de son point d'attache, le fil penche vers l'arrière, du côté opposé à l'accélération.

Cas limites. $a=0$ redonne $T=mg$ ; $a\gg g$ donne un fil presque horizontal.

c) Le wagon accéléré n'est pas galiléen. Dans le wagon, l'objet est immobile ; or les forces qu'il subit, $m\overrightarrow{g}$ et $\overrightarrow{T}$, ont une somme $m\overrightarrow{a}$ non nulle. Un point au repos (donc en mouvement rectiligne uniforme) qui n'est pas pseudo-isolé : le principe d'inertie est violé dans le wagon, qui n'est donc pas galiléen. On n'a pas eu besoin de savoir ce qu'on y écrirait à la place — c'est la raison pour laquelle on a travaillé depuis le quai.

d) Ordres de grandeur. TGV au démarrage : $\theta =\arctan (0,50/9,81)\approx 2,9^{\circ }$ ($a\approx 0,05g$, confortable). Au freinage, l'accélération est dirigée vers l'arrière : le fil penche vers l'avant. Avec $\theta =5,8^{\circ }$, $|a|=g\tan \theta =9,81\times \tan 5,8^{\circ }\approx 1,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. La tension vaut alors $T/(mg)=\sqrt{1+(a/g{)}^2}\approx 1,005$ : le fil est tendu à peine plus qu'au repos, l'effet est du second ordre en $a/g$.

Ce que l'exercice installe. On écrit la deuxième loi dans un référentiel galiléen, et l'on y traduit les contraintes cinématiques (« immobile par rapport à » devient « même accélération que »). Le pendule est un accéléromètre, aveugle à la vitesse : c'est le contenu physique de la relativité galiléenne. Les forces d'inertie, qui permettraient de raisonner dans le wagon, sont un outil de deuxième année.