Le train de wagons et la corde lourde

La stratégie. On applique la deuxième loi à plusieurs systèmes différents. Chaque fois, il faut lister les forces extérieures au système choisi : une force d'attelage est intérieure si les deux wagons qu'elle relie sont dans le système, extérieure sinon. C'est ce qui permet de faire apparaître, ou disparaître, l'inconnue qu'on veut.

a) Le train entier. Système : les $N$ wagons, de masse $Nm$. Forces extérieures : les poids et les réactions des rails, verticaux et qui se compensent (pas de mouvement vertical), et la force $\overrightarrow{F}$ de la locomotive. Les forces d'attelage sont intérieures : l'attelage $k$ tire le wagon $k+1$ vers l'avant et le wagon $k$ vers l'arrière, et d'après la troisième loi ces deux forces sont opposées ; elles s'annulent dans la somme. Les wagons étant reliés, ils ont la même accélération $a$. La deuxième loi projetée sur ${\overrightarrow{u}}_x$ donne $$Nma=F,a=\frac{F}{Nm}.$$

b) Isoler la queue du train. Système : les wagons $k+1,\dots ,N$ (ceux qui sont derrière l'attelage $k$), de masse $(N-k)m$. La seule force horizontale extérieure à ce système est celle de l'attelage $k$, qui le tire vers l'avant avec la norme $T_k$ ; les attelages $k+1,\dots ,N-1$ sont intérieurs. D'où $$T_k=(N-k)ma=F\frac{N-k}{N}.$$ L'attelage le plus sollicité est le premier ($k=1$), qui tire tout le train sauf un wagon : $T_1=F(N-1)/N$. Le dernier attelage ne tire qu'un wagon : $T_{N-1}=F/N$. La tension décroît linéairement le long du train.

Le wagon $k+1$ exerce sur le wagon $k$, par l'attelage, une force dirigée vers l'arrière, de norme $T_k$ : c'est l'opposée, par la troisième loi, de la force $T_k{\overrightarrow{u}}_x$ que le wagon $k$ exerce sur le wagon $k+1$. On vérifie la cohérence en isolant le wagon $k$ seul : il est tiré vers l'avant par $T_{k-1}$, vers l'arrière par $T_k$, et $T_{k-1}-T_k=F/N=ma$. Le bilan est juste.

c) Ordres de grandeur. $a=\frac{2,0\times 10^5}{10\times 5,0\times 10^4}=0,40\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. $T_1=2,0\times 10^5\times \frac{9}{10}=1,8\times 10^5$ N et $T_9=2,0\times 10^5\times \frac{1}{10}=2,0\times 10^4$ N. Le premier attelage, neuf fois plus chargé que le dernier, est celui qu'on dimensionne.

d) Pousser deux blocs. Système global $\{m_1,m_2\}$ : $F=(m_1+m_2)a$. Système $\{m_2\}$ seul : la seule force horizontale qu'il subit est la force de contact $\overrightarrow{C}$ exercée par $m_1$, d'où $$C=m_{2}a=\frac{m_2}{m_1+m_2}F,$$ et, par la troisième loi, $m_2$ exerce sur $m_1$ la force $-\overrightarrow{C}$. Si l'on tire $m_2$ par l'avant au lieu de pousser $m_1$ par l'arrière (les blocs étant alors reliés par un attelage), le bloc qui « subit » la liaison devient $m_1$, et la force transmise vaut $\frac{m_1}{m_1+m_2}F$. La force à l'interface est la part de $F$ qui accélère ce qui est derrière l'interface : elle dépend du côté où l'on applique $F$. C'est la même règle qu'au b).

e) La corde lourde. On reprend le b) avec un découpage continu. Toute la corde a l'accélération $a=F/M$ (même raisonnement qu'au a), les tensions intérieures s'annulant par paires). Isolons la portion de corde située au-delà du point d'abscisse $x$, de longueur $L-x$ et de masse $M\frac{L-x}{L}$ (corde homogène). La seule force horizontale extérieure à cette portion est la tension $T(x)$ exercée par la partie avant. D'où $$T(x)=M\frac{L-x}{L}a=F\left(1-\frac{x}{L}\right).$$ C'est exactement la formule discrète $T_k=F(1-k/N)$ où l'on a remplacé $k/N$ par $x/L$ : le train est une corde « discrétisée ». La tension vaut $F$ au point tiré et $0$ à l'extrémité libre — ce qui est attendu, rien ne tire sur le dernier élément de corde depuis l'arrière.

Cas limite. Si la corde a une masse négligeable mais qu'elle tire un objet de masse $m_0$ accroché à son extrémité, le même découpage donne $T(x)=m_{0}a$, indépendant de $x$ : un fil sans masse transmet la même tension tout le long. C'est l'hypothèse du « fil idéal » du cours, qu'on vient de justifier : elle est exacte quand la masse du fil est négligeable devant les masses qu'il relie.

Ce que l'exercice installe. Choisir le système, c'est choisir l'équation : en isolant ce qui est derrière une liaison, on obtient la force qui la traverse, et la troisième loi efface les forces intérieures. Le passage au continu montre que la tension uniforme d'un fil sans masse n'est pas un postulat, mais une conséquence.