Monter est plus court que descendre

a) Une équation, deux phases. Bilan : le poids $-mg{\overrightarrow{u}}_z$ et le frottement, opposé à la vitesse. À la montée ($v_z>0$) le frottement est dirigé vers le bas : $m{\dot{v}}_z=-mg-k{v}_z^2$. À la descente ($v_z<0$) il est dirigé vers le haut : $m{\dot{v}}_z=-mg+k{v}_z^2$. Les deux s'écrivent en une seule équation, car $-k{v}_z|v_z|$ vaut $-k{v}_z^2$ à la montée et $+k{v}_z^2$ à la descente : $$m\frac{\mathrm{d}{v}_z}{\mathrm{d}t}=-mg-k{v}_z|v_z|.$$ Le point délicat est là : écrire $-k{v}_z^2$ dans les deux phases donnerait un frottement toujours dirigé vers le bas, qui accélérerait la descente — une erreur de signe classique, que le code numérique reproduirait sans broncher.

Numériquement, $k=\frac{1}{2}\times 1,2\times 0,55\times \pi \times (0,0335{)}^2\approx 1,16\times 10^{-3}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$ et $v_{\ell }=\sqrt{mg/k}\approx 21,9\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. La vitesse de lancer dépasse la vitesse limite : le frottement, au départ, est plus grand que le poids ($k{v}_0^2/(mg)=(30/21,9{)}^2\approx 1,9$). On ne peut pas le négliger.

b) L'argument qualitatif. Notons $h$ la hauteur atteinte : les deux phases parcourent la même distance $h$.

La descente. La balle part du sommet avec une vitesse nulle. Le frottement étant dirigé vers le haut, la norme de son accélération vaut $g-k{v}^2/m$, strictement inférieure à $g$ dès que $v\ne 0$. La norme de la vitesse croît donc moins vite que dans une chute libre : à chaque instant, $|v_z(t)|\le gt$, et la distance parcourue au bout du temps $t$ est au plus $\frac{1}{2}g{t}^2$. Pour parcourir $h$, il faut donc un temps $t_d\ge \sqrt{2h/g}$, et même $t_d>\sqrt{2h/g}$ puisque l'inégalité sur l'accélération est stricte dès le premier instant.

La montée, regardée à l'envers. À la montée, la vitesse est dirigée vers le haut et le frottement vers le bas : la norme de l'accélération vaut $g+k{v}^2/m$, supérieure à $g$. Parcourons la montée en partant du sommet et en remontant le temps : la vitesse part de $0$ et sa norme croît, quand on s'éloigne du sommet, au taux $g+k{v}^2/m\ge g$. Le même raisonnement que pour la descente, avec l'inégalité retournée, montre que la distance $h$ est parcourue en un temps $t_m<\sqrt{2h/g}$.

Donc $$t_m<\sqrt{\frac{2h}{g}}<t_d.$$ La balle met plus de temps à redescendre qu'à monter. Sans frottement, les deux durées seraient égales : c'est le frottement, qui aide le poids à la montée et s'y oppose à la descente, qui rompt la symétrie.

La vitesse de retour. Par le même argument, la descente sur $h$ avec une accélération inférieure à $g$ donne une vitesse finale inférieure à $\sqrt{2gh}$, et la montée sur $h$ avec une décélération supérieure à $g$ exige $v_0>\sqrt{2gh}$ : la vitesse de retour est strictement inférieure à $v_0$.

c) La simulation. Le script suivant intègre l'équation du a) par les deux méthodes ; l'axe est orienté vers le haut.

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

g, rho = 9.81, 1.2                        # SI
m, d, Cx = 0.057, 0.067, 0.55             # balle de tennis
k = 0.5 * rho * Cx * np.pi * (d / 2)**2   # f = k v^2
vl = np.sqrt(m * g / k)                   # vitesse limite
v0 = 30.0                                 # lancer vers le haut

def a(v):                                 # axe z vers le haut
    return -g - (k / m) * v * abs(v)      # le frottement s'oppose a v

# 1) Euler explicite, pas dt
dt, z, v, t, t_m, h = 0.01, 0.0, v0, 0.0, None, None
while True:
    z, v, t = z + v * dt, v + a(v) * dt, t + dt
    if t_m is None and v < 0:
        t_m, h = t, z                     # sommet
    if z < 0:
        break
print(f"Euler : t_m={t_m:.2f} s, h={h:.1f} m, duree={t:.2f} s")

# 2) solve_ivp, avec detection du sommet et du retour au sol
sommet = lambda t, y: y[1];  sommet.terminal = False
sol_ = lambda t, y: y[0];    sol_.terminal, sol_.direction = True, -1
r = solve_ivp(lambda t, y: [y[1], a(y[1])], (0, 10), [0, v0],
              events=[sommet, sol_], rtol=1e-10, atol=1e-12)
tm, tf = r.t_events[0][0], r.t_events[1][0]
print(f"vl={vl:.1f} m/s ; t_m={tm:.2f} s, t_d={tf-tm:.2f} s")
print(f"h={r.y_events[0][0][0]:.1f} m (sans air {v0**2/(2*g):.1f} m), "
      f"retour a {abs(r.y_events[1][0][1]):.1f} m/s")

Résultat de l'exécution :

Euler : t_m=2.10 s, h=25.9 m, duree=4.61 s
vl=21.9 m/s ; t_m=2.10 s, t_d=2.50 s
h=25.8 m (sans air 45.9 m), retour a 17.7 m/s

Lecture. La montée dure $2,10$ s, la descente $2,50$ s : l'inégalité du b) est vérifiée, et l'écart (près de 20 %) est loin d'être négligeable. La balle ne monte qu'à $25,8$ m au lieu de $45,9$ m sans air : le frottement coûte 44 % de la hauteur. Elle revient à $17,7\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ au lieu de $30$, et le vol complet dure $4,60$ s au lieu de $2v_0/g=6,12$ s. Le schéma d'Euler avec $\mathrm{d}t=0,01$ s donne une durée totale de $4,61$ s : l'écart à la solution précise ($0,01$ s) est de l'ordre du pas, comme attendu pour une méthode d'ordre un ; avec $\mathrm{d}t=10^{-3}$ s, la durée calculée devient $4,602$ s, et l'écart tombe sous le millième de seconde. Enfin, avec $h=25,8$ m, $\sqrt{2h/g}=2,30$ s, et l'on a bien $t_m=2,10<2,30<2,50=t_d$.

d) Généralité de l'argument. Le raisonnement du b) n'a utilisé qu'une chose : le frottement s'oppose à la vitesse, donc il s'ajoute au poids à la montée et s'en retranche à la descente. Il vaut donc pour un frottement linéaire $-k\overrightarrow{v}$, comme pour tout frottement fluide. C'est la force d'un argument qualitatif : il est plus général que n'importe quelle résolution.

Ce que l'exercice installe. Une inégalité physique se démontre par comparaison avec un mouvement connu, sans résoudre. La simulation la chiffre ensuite, et l'on contrôle sa précision en changeant le pas. Pour un frottement quadratique dont la vitesse change de signe, on écrit $-kv|v|$.