Pendule simple : analyse dimensionnelle et pendule qui bat la seconde

a) L'équation du mouvement. En polaires, $r=\ell$ constant : $\dot{r}=\ddot{r}=0$, et le cours de cinématique donne $$\overrightarrow{a}=-\ell {\dot{\theta }}^2{\overrightarrow{u}}_r+\ell \ddot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }.$$ Bilan des forces : le poids $m\overrightarrow{g}=mg\cos \theta {\overrightarrow{u}}_r-mg\sin \theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }$ (le vecteur ${\overrightarrow{u}}_r$ pointe de $O$ vers $M$, et le poids, vertical vers le bas, fait l'angle $\theta$ avec lui) ; la tension $\overrightarrow{T}=-T{\overrightarrow{u}}_r$, dirigée vers $O$, de norme inconnue.

La tension est portée par ${\overrightarrow{u}}_r$ : on projette sur ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$, qui l'élimine. $$m\ell \ddot{\theta }=-mg\sin \theta ⟹\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$ La projection sur ${\overrightarrow{u}}_r$ donne la tension, une fois le mouvement connu : $$-m\ell {\dot{\theta }}^2=mg\cos \theta -T⟹T=mg\cos \theta +m\ell {\dot{\theta }}^2.$$ Elle est maximale au passage par la verticale, où $\cos \theta =1$ et la vitesse est la plus grande : c'est là qu'un fil trop faible casse.

b) L'analyse dimensionnelle. Cherchons $T$ sous la forme $T=C{m}^{\alpha }{\ell }^{\beta }{g}^{\gamma }F({\theta }_0)$, où $C$ et $F({\theta }_0)$ sont sans dimension (un angle est sans dimension, donc toute fonction de ${\theta }_0$ l'est). En écrivant les dimensions, $[T]=\mathrm{s}$ et $[m^{\alpha }{\ell }^{\beta }{g}^{\gamma }]={\mathrm{kg}}^{\alpha }{\mathrm{m}}^{\beta +\gamma }{\mathrm{s}}^{-2\gamma }$. L'identification donne $\alpha =0$, $-2\gamma =1$, $\beta +\gamma =0$, soit $\gamma =-\frac{1}{2}$, $\beta =\frac{1}{2}$ : $$T=\sqrt{\frac{\ell }{g}}F({\theta }_0).$$ La masse ne peut pas intervenir : c'est la seule grandeur du problème qui contienne le kilogramme, et rien ne pourrait compenser cette dimension. L'équation du a) le confirme : $m$ s'y simplifie, parce que la masse du poids et celle de $m\overrightarrow{a}$ sont la même. L'analyse dimensionnelle ne dit rien de $F$, donc rien de la dépendance en amplitude.

c) La linéarisation. Avec $\sin \theta \approx \theta$, l'équation devient celle de l'oscillateur harmonique $\ddot{\theta }+{\omega }_0^2\theta =0$, avec ${\omega }_0=\sqrt{g/\ell }$, dont les solutions sont sinusoïdales de période $T_0=2\pi /{\omega }_0=2\pi \sqrt{\ell /g}$. Donc, dans cette approximation, $F({\theta }_0)=2\pi$, indépendant de l'amplitude : c'est l'isochronisme des petites oscillations.

Erreur de l'approximation à $10^{\circ }$ : $\theta =0,17453$ rad, $\sin \theta =0,17365$, et $\frac{\theta -\sin \theta }{\sin \theta }\approx 0,51\%$ ; elle croît comme ${\theta }^2/6$. L'isochronisme n'est donc exact qu'à la limite des angles nuls : en réalité $F$ dépend de ${\theta }_0$ (non-isochronisme), ce qui sera quantifié plus tard dans l'année.

d) Le pendule qui bat la seconde. Un aller dure $1$ s, donc $T_0=2$ s, d'où $$\ell =g{\left(\frac{T_0}{2\pi }\right)}^2=\frac{g}{{\pi }^2}=\frac{9,81}{{\pi }^2}\approx 0,994\text{m}.$$ À la fin du XVIIIe siècle, cette longueur fut proposée comme définition du mètre. Un pendule de $1,0$ m a la période $T_0=2\pi \sqrt{1,0/9,81}\approx 2,01$ s. La période croît comme $\sqrt{\ell }$ : quadrupler la longueur double la période.

e) La dilatation. $T_0\propto \sqrt{\ell }$, donc $\frac{\Delta T_0}{T_0}\approx \frac{1}{2}\frac{\Delta \ell }{\ell }=\frac{1}{2}\lambda \Delta \Theta$ (au premier ordre, $\sqrt{1+\epsilon }\approx 1+\epsilon /2$). Ici $\frac{\Delta T_0}{T_0}=\frac{1}{2}\times 1,2\times 10^{-5}\times 10=6,0\times 10^{-5}$. Le pendule s'allonge, sa période augmente : chaque battement dure plus longtemps, l'horloge en compte moins en une journée, elle retarde, de $86400\times 6,0\times 10^{-5}\approx 5,2$ s par jour — plus d'une demi-minute par semaine. C'est pourquoi les horlogers ont inventé des balanciers compensés puis l'invar, alliage presque indilatable.

Ce que l'exercice installe. Projeter sur ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$ élimine la tension, la projection sur ${\overrightarrow{u}}_r$ la donne ensuite. L'analyse dimensionnelle fixe la forme d'une loi avant tout calcul ; la linéarisation donne l'oscillateur harmonique, avec une erreur qu'on chiffre ; et un petit effet relatif, accumulé sur une journée, fait toute la métrologie du temps.