Pourquoi les astronautes flottent

a) Le champ en altitude. La force sur la masse $m$ à la distance $r=R_T+h$ vaut $mg(h)$ avec $g(h)=\frac{\mathcal{G}{M}_T}{(R_T+h{)}^2}$. Au sol, $g_0=\frac{\mathcal{G}{M}_T}{R_T^2}$. Le rapport élimine $\mathcal{G}{M}_T$ : $$g(h)=g_0{\left(\frac{R_T}{R_T+h}\right)}^2.$$ Et $M_T=\frac{g_0{R}_T^2}{\mathcal{G}}=\frac{9,81\times (6,371\times 10^6{)}^2}{6,67\times 10^{-11}}\approx 5,97\times 10^{24}$ kg.

b) Le modèle uniforme. On écrit $g(h)=g_0(1+h/R_T{)}^{-2}$ et l'on utilise, pour $\epsilon =h/R_T\ll 1$, l'approximation $(1+\epsilon {)}^{-2}\approx 1-2\epsilon$ (développement au premier ordre). Donc $$\frac{g_0-g(h)}{g_0}\approx \frac{2h}{R_T}.$$ À l'Everest : $\frac{2\times 8849}{6371\times 10^3}\approx 2,8\times 10^{-3}$, soit $g\approx 9,78\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. Sur toute l'épaisseur où vivent les hommes, le champ varie de moins de trois pour mille : le modèle du champ uniforme est excellent pour tout mouvement dont l'extension verticale est petite devant le rayon terrestre — une chute, un tir, un vol d'avion. Il cesse de l'être quand $h$ devient une fraction notable de $R_T$.

c) À l'altitude de l'ISS. $g(400\text{km})=9,81\times {\left(\frac{6371}{6771}\right)}^2\approx 8,69\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, soit 89 % de $g_0$. L'astronaute n'est absolument pas « hors de la gravité » : c'est même la gravitation, et elle seule, qui courbe la trajectoire de la station.

d) Vitesse et période. Système : la station, assimilée à un point de masse $m_S$. Seule force : la gravitation, centripète, de norme $m_{S}g(h)$. Mouvement circulaire uniforme de rayon $r=R_T+h$ : accélération centripète de norme $v^2/r$ (cinématique). La deuxième loi projetée sur le rayon donne $$m_S\frac{v^2}{r}=m_{S}g(h)⟹v=\sqrt{g(h)(R_T+h)}.$$ Numériquement $v=\sqrt{8,69\times 6,771\times 10^6}\approx 7,67\times 10^3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, soit $27600\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$, et $T=\frac{2\pi r}{v}\approx 5550$ s $\approx 92,5$ min : environ seize tours de Terre par jour. La masse s'est simplifiée : un astronaute en sortie extravéhiculaire a la même vitesse orbitale que la station, et « flotte » à côté d'elle.

e) L'impesanteur. Système : l'astronaute, de masse $m$. Forces : la gravitation $m\overrightarrow{g}(h)$ et la réaction $\overrightarrow{N}$ du plateau. L'astronaute étant immobile par rapport à la station, il a la même accélération que la station dans le référentiel géocentrique, c'est-à-dire, d'après le d), $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}(h)$. La deuxième loi s'écrit $$m\overrightarrow{g}(h)=m\overrightarrow{g}(h)+\overrightarrow{N}⟹\overrightarrow{N}=\overrightarrow{0}.$$ Le plateau n'exerce aucune force : le pèse-personne affiche zéro. Ce qu'on appelle le « poids » au sens de l'expérience courante — la force qu'il faut exercer pour nous empêcher de tomber, que mesure un pèse-personne — est nul, bien que la gravitation ne le soit pas. C'est l'impesanteur : l'astronaute et la station tombent ensemble, avec la même accélération, et rien ne pousse l'un contre l'autre.

Le passager d'un ascenseur dont le câble a cédé est dans la même situation, le temps de la chute : la cabine et lui ont l'accélération $\overrightarrow{g}$, et il flotte dans la cabine — jusqu'au fond du puits.

Ce que l'exercice installe. Un modèle de force a un domaine de validité, qu'on mesure par un développement au premier ordre ($2h/R_T$). Et l'impesanteur n'est pas l'absence de gravité mais l'égalité des accélérations de l'objet et de son support, tous deux en chute libre.