mécanique (PTSI) · Chapitre 2 · Application directe du cours

Pourquoi rouler moins vite, la distance de freinage

Dynamique du point : les lois de Newton · niveau 2

Énoncé

Sur l'autoroute, un panneau rappelle : « Vitesse $\times 2$ , distance de freinage $\times 4$ ». Un automobiliste roulant à $50 km / h$ en ville freine d'urgence, roues bloquées, devant un piéton. Le frottement solide pneu/route est le seul frein efficace une fois les roues bloquées. On admet la loi suivante (loi du frottement solide, donnée) : lorsque les pneus glissent sur la route, la réaction de la route a une composante tangentielle $f$ opposée au glissement, de norme $f = μ N$ , où $N$ est la norme de la composante normale et $μ$ un coefficient sans dimension qui ne dépend que du couple pneu/route.

Une fois les roues bloquées, quelle force ralentit la voiture ? D'après la loi admise, de quoi dépend-elle, et de quoi ne dépend-elle pas ?
Montrer que la décélération vaut $a = μg$ , indépendante de la masse du véhicule. Pourquoi est-ce remarquable ?
Exprimer la distance de freinage $d$ en fonction de la vitesse initiale $v_{0}$ , de $μ$ et de $g$ . Justifier la règle « vitesse $\times 2 \Rightarrow$ distance $\times 4$ ».
Application : route sèche $μ = 0, 80$ . Calculer $d$ pour $v_{0} = 50 km / h$ , puis pour $v_{0} = 100 km / h$ .
Sous la pluie, $μ$ tombe à $0, 40$ . Que devient $d$ à $50 km / h$ ? Conclusion pour la sécurité.

Corrigé

1. Roues bloquées, c'est la force de frottement solide $f$ entre les pneus et la route qui ralentit la voiture, opposée au mouvement. D'après la loi admise, sa norme $f = μ N$ dépend du couple pneu/route (via $μ$ ) et de la charge $N$ , mais ni de la surface de contact ni de la vitesse.

2. Sur la verticale, la voiture ne décolle pas : $N = m g$ . Sur l'horizontale, seule $f$ agit, le PFD donne : $m a = - f = - μ N = - μ m g ⟹ a = - μg .$ La masse se simplifie : un camion et une citadine, mêmes pneus et même route, ont la même décélération. La masse n'aide pas à freiner plus court.

3. Mouvement uniformément décéléré jusqu'à l'arrêt ( $v = 0$ ). Avec $v^{2} = v_{0}^{2} - 2 μg d$ : $d = \frac{v _{0}^{2}}{2 μg} .$ Comme $d \propto v_{0}^{2}$ , doubler $v_{0}$ multiplie $d$ par $2^{2} = 4$ : c'est exactement la règle du panneau.

4. Route sèche, $μ = 0, 80$ , $g = 9, 81 m / s^{2}$ . À $v_{0} = 50 km / h = 13, 9 m / s$ : $d = \frac{13 , 9 ^{2}}{2 \times 0 , 80 \times 9 , 81} \approx 12 m .$ À $v_{0} = 100 km / h = 27, 8 m / s$ : $d \approx 49 m$ , soit bien $\approx 4 \times 12 m$ .

5. Sous la pluie, $μ = 0, 40$ : $d$ double (car $d \propto 1/ μ$ ). À $50 km / h$ : $d = \frac{13 , 9 ^{2}}{2 \times 0 , 40 \times 9 , 81} \approx 25 m .$

Important

Ce que ça nous apprend. La distance de freinage croît comme le carré de la vitesse et comme l'inverse de l'adhérence : rouler deux fois plus vite, c'est s'arrêter quatre fois plus loin, et la pluie double encore cette distance. Voilà pourquoi les limitations de vitesse baissent par temps de pluie, et pourquoi ralentir sauve des vies.

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