Problème : loi de Stokes et viscosimètre à chute de bille

1) Le bilan et l'équation. Système : la bille, de masse $m={\rho }_{s}V$. Trois forces, toutes verticales :

• le poids, vers le bas, de norme ${\rho }_{s}Vg$ ;
• la poussée d'Archimède, vers le haut, de norme ${\rho }_{f}Vg$ ;
• la force de Stokes, opposée à la vitesse ; la bille descendant ($v>0$ sur l'axe vers le bas), elle est dirigée vers le haut, de norme $6\pi \eta Rv$.

La deuxième loi projetée sur $Oz$ : $${\rho }_{s}V\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=({\rho }_s-{\rho }_f)Vg-6\pi \eta Rv.$$ On divise par ${\rho }_{s}V={\rho }_s\cdot \frac{4}{3}\pi R^3$. Le coefficient de $v$ devient $$\frac{6\pi \eta R}{\frac{4}{3}\pi R^3{\rho }_s}=\frac{9\eta }{2{\rho }_s{R}^2}=\frac{1}{\tau },\text{d’ouˋ}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+\frac{v}{\tau }=(1-\frac{{\rho }_f}{{\rho }_s})g.$$ Homogénéité. Une viscosité en $\mathrm{Pa}\mathrm{s}$ s'exprime en $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$ (un pascal est un $\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-2}=\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-2}$). Alors $\frac{{\rho }_s{R}^2}{\eta }$ est en $\frac{\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}}=\mathrm{s}$ : $\tau$ est bien un temps.

Remarque. Le facteur $1-{\rho }_f/{\rho }_s$ vaut $0,84$ pour l'acier dans la glycérine : la poussée d'Archimède n'est pas négligeable.

2) Vitesse limite, échelles, adimensionnement. En régime permanent, $\mathrm{d}v/\mathrm{d}t=0$ : $$v_{\ell }=\tau (1-\frac{{\rho }_f}{{\rho }_s})g=\frac{2{\rho }_s{R}^2}{9\eta }\cdot \frac{{\rho }_s-{\rho }_f}{{\rho }_s}g=\frac{2({\rho }_s-{\rho }_f)g{R}^2}{9\eta }.$$ Elle croît comme $R^2$ : une bille deux fois plus grosse tombe quatre fois plus vite. On pose $v=v_{\ell }u$ et $t=\tau x$ ; l'équation devient, après division par $v_{\ell }/\tau$ (en remarquant que $(1-\frac{{\rho }_f}{{\rho }_s})g=v_{\ell }/\tau$), $$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u=1,$$ la forme universelle du cours. Le régime transitoire dure quelques $\tau$ : au bout de $x=5$, l'écart relatif à la vitesse limite, qui décroît comme ${\mathrm{e}}^{-x}$, vaut ${\mathrm{e}}^{-5}<1\%$. Pendant ce temps la bille parcourt une distance inférieure à $5\tau v_{\ell }$ (sa vitesse reste inférieure à $v_{\ell }$) : la longueur caractéristique du transitoire est $\tau v_{\ell }$.

3) La mesure de la viscosité. La vitesse mesurée est $v_{\ell }=\frac{0,200}{19,8}\approx 1,01\times 10^{-2}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, en supposant le régime permanent atteint entre les repères (on le vérifie ci-dessous). On inverse la formule du 2) : $$\eta =\frac{2({\rho }_s-{\rho }_f)g{R}^2}{9v_{\ell }}=\frac{2\times 6,54\times 10^3\times 9,81\times (1,0\times 10^{-3}{)}^2}{9\times 1,01\times 10^{-2}}\approx 1,41\mathrm{Pa}\mathrm{s}.$$ C'est la valeur tabulée de la glycérine vers $20^{\circ }$C, mille quatre cents fois celle de l'eau.

Le temps caractéristique vaut $\tau =\frac{2\times 7,8\times 10^3\times (1,0\times 10^{-3}{)}^2}{9\times 1,41}\approx 1,2\times 10^{-3}$ s, et la distance de transitoire $5\tau v_{\ell }\approx 6\times 10^{-5}$ m, soit $0,06$ mm. Le régime permanent est donc atteint dès le premier dixième de millimètre : un repère placé à quelques centimètres sous la surface est très largement suffisant. L'hypothèse « vitesse constante entre les repères » est justifiée.

4) La validité du modèle. $Re=\frac{{\rho }_f{v}_{\ell }(2R)}{\eta }=\frac{1,26\times 10^3\times 1,01\times 10^{-2}\times 2,0\times 10^{-3}}{1,41}\approx 1,8\times 10^{-2}$. On a bien $Re\ll 1$ : le modèle de Stokes était légitime, et le raisonnement est cohérent — on a supposé le modèle, calculé la vitesse, et vérifié a posteriori que cette vitesse est dans le domaine du modèle.

5) Le même calcul dans l'eau. Le modèle de Stokes prédirait $$v_{\ell }=\frac{2\times (7,8-1,0)\times 10^3\times 9,81\times (1,0\times 10^{-3}{)}^2}{9\times 1,0\times 10^{-3}}\approx 14,8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ plus de $50\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$ : déjà suspect. Le nombre de Reynolds correspondant vaut $Re=\frac{1,0\times 10^3\times 14,8\times 2,0\times 10^{-3}}{1,0\times 10^{-3}}\approx 3,0\times 10^4\gg 1$. Le modèle est appliqué hors de son domaine de validité : la vitesse calculée n'a aucun sens.

Avec le frottement quadratique, la vitesse limite égale poids apparent et frottement : $$({\rho }_s-{\rho }_f)\frac{4}{3}\pi R^{3}g=\frac{1}{2}{\rho }_f{C}_x\pi R^2{v}_{\ell }^2⟹v_{\ell }=\sqrt{\frac{8({\rho }_s-{\rho }_f)gR}{3{\rho }_f{C}_x}}\approx 0,63\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Le nouveau nombre de Reynolds vaut $Re\approx \frac{10^3\times 0,63\times 2,0\times 10^{-3}}{10^{-3}}\approx 1,3\times 10^3$, dans le domaine $10^3$–$10^5$ où le modèle quadratique est valable : cette fois le calcul est cohérent. Le modèle de Stokes surestimait la vitesse d'un facteur $24$. Un modèle de force se choisit, puis se vérifie : le nombre de Reynolds est le juge.

6) Le brouillard. Dans l'air, la poussée d'Archimède est négligeable (${\rho }_{\text{air}}/{\rho }_{\text{eau}}\approx 10^{-3}$) : $$v_{\ell }=\frac{2\times 1,0\times 10^3\times 9,81\times (1,0\times 10^{-5}{)}^2}{9\times 1,8\times 10^{-5}}\approx 1,2\times 10^{-2}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ $\tau =\frac{2\times 10^3\times 10^{-10}}{9\times 1,8\times 10^{-5}}\approx 1,2\times 10^{-3}$ s, et $Re=\frac{1,2\times 1,2\times 10^{-2}\times 2\times 10^{-5}}{1,8\times 10^{-5}}\approx 1,6\times 10^{-2}\ll 1$ : Stokes s'applique. La gouttelette tombe à $1,2\mathrm{cm}{\mathrm{s}}^{-1}$, environ $70$ cm par minute ; le moindre courant ascendant de quelques centimètres par seconde la maintient en suspension. C'est pourquoi un brouillard semble flotter : ses gouttes tombent, mais si lentement que l'air les porte. Quand elles grossissent jusqu'au millimètre, $v_{\ell }$ atteint plusieurs mètres par seconde : il pleut.

Le résultat établi — la loi de Stokes et le viscosimètre à chute de bille. Une sphère de rayon $R$ et de masse volumique ${\rho }_s$ qui tombe dans un fluide de masse volumique ${\rho }_f$ et de viscosité $\eta$ atteint, après un transitoire de durée $\tau =2{\rho }_s{R}^2/(9\eta )$, la vitesse limite $v_{\ell }=\frac{2({\rho }_s-{\rho }_f)g{R}^2}{9\eta }$ ; la mesure de $v_{\ell }$ donne donc la viscosité, $$\eta =\frac{2({\rho }_s-{\rho }_f)g{R}^2}{9v_{\ell }},$$ à condition que le nombre de Reynolds ${\rho }_f{v}_{\ell }(2R)/\eta$ soit petit devant $1$. C'est le principe du viscosimètre à chute de bille, et le domaine de validité fait partie du résultat.

Ce que le problème installe. La démarche complète devant une force de frottement : bilan (sans oublier Archimède quand les masses volumiques sont comparables), équation, exploitation sans résolution, mesure (inverser la loi pour remonter à un paramètre), puis validation du modèle par un nombre sans dimension. Le contre-exemple de l'eau montre ce que coûte la dernière étape oubliée : un facteur $24$, sans aucune erreur de calcul.