La balançoire — exercice corrigé de mécanique (PTSI) (chapitre 3)

La balançoire

Approche énergétique du mouvement d'un point · niveau 2

Énoncé

Au parc, Léa lâche sans vitesse la balançoire de son petit frère depuis une hauteur $h = 0, 80 m$ au-dessus du point le plus bas. L'enfant et le siège ont une masse $m = 25 kg$ . On néglige les frottements ; $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Quelle est l'énergie mécanique au lâcher ? (origine de $E_{p}$ au point bas)
En déduire la vitesse au point le plus bas.
Jusqu'à quelle hauteur la balançoire remonte-t-elle de l'autre côté ? Justifier.
Pour atteindre $5, 0 m / s$ en bas, de quelle hauteur faudrait-il lâcher ?

Corrigé

1. Au lâcher $E_{c} = 0$ , donc $E_{m} = m g h = 25 \times 9, 81 \times 0, 80 \approx 196 J$ .

2. Sans frottement, $E_{m}$ se conserve. Au point bas $E_{p} = 0$ : $\frac{1}{2} m v_{m a x}^{2} = m g h$ , soit

$v_{m a x} = 2 g h = 2 \times 9, 81 \times 0, 80 \approx 4, 0 m / s .$

La masse n'intervient pas.

3. À la hauteur maximale de l'autre côté, $v = 0$ donc $E_{p} = E_{m} = m g h^{'}$ ; comme $E_{m}$ est inchangée, $h^{'} = h = 0, 80 m$ : la balançoire remonte exactement à sa hauteur de départ.

4. $m g h_{2} = \frac{1}{2} m v^{2}$ donne $h_{2} = \frac{v ^{2}}{2 g} = \frac{5 , 0 ^{2}}{2 \times 9 , 81} \approx 1, 3 m$ .

Important

Ce que ça nous apprend. Sans frottement, la vitesse au point bas ne dépend que de la hauteur de chute (pas de la masse), et la balançoire remonte toujours à son altitude de départ.