Le travail dépend-il du chemin ?

La stratégie. $\delta W=\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{OM}$, avec $\mathrm{d}\overrightarrow{OM}=\mathrm{d}x{\overrightarrow{e}}_x+\mathrm{d}y{\overrightarrow{e}}_y$ ou $\mathrm{d}r{\overrightarrow{e}}_r+r\mathrm{d}\theta {\overrightarrow{e}}_{\theta }$ ; on paramètre chaque morceau de chemin : sur un segment parallèle à un axe, une coordonnée est constante et son différentiel est nul.

1) Les trois chemins. On a $\delta W_1=\alpha (y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y)$ et $\delta W_2=\alpha (y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y)$.

Le segment $[OA]$. On le paramètre par $x=y=t$, $t$ allant de $0$ à $a$ : $\mathrm{d}x=\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. Alors $\delta W_1=2\alpha t\mathrm{d}t$, d'où $W_1=\alpha a^2$ ; et $\delta W_2=\alpha (t-t)\mathrm{d}t=0$, d'où $W_2=0$.

Le chemin $O\to B\to A$. Sur $[OB]$, $y=0$ et $\mathrm{d}y=0$ : les deux travaux élémentaires sont nuls. Sur $[BA]$, $x=a$ et $\mathrm{d}x=0$ : $\delta W_1=\alpha a\mathrm{d}y$ et $\delta W_2=-\alpha a\mathrm{d}y$, avec $y$ de $0$ à $a$. Donc $W_1=\alpha a^2$ et $W_2=-\alpha a^2$.

Le chemin $O\to C\to A$. Sur $[OC]$, $x=0$ et $\mathrm{d}x=0$ : travaux nuls. Sur $[CA]$, $y=a$ et $\mathrm{d}y=0$ : $\delta W_1=\delta W_2=\alpha a\mathrm{d}x$, $x$ de $0$ à $a$. Donc $W_1=\alpha a^2$ et $W_2=+\alpha a^2$.

Le travail de ${\overrightarrow{F}}_1$ est le même sur les trois chemins ; celui de ${\overrightarrow{F}}_2$ prend trois valeurs différentes. Trois chemins ne prouvent pas qu'une force est conservative ; deux chemins qui donnent deux travaux différents prouvent qu'elle ne l'est pas.

2) L'énergie potentielle de ${\overrightarrow{F}}_1$. On remarque que $y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y$ est la différentielle du produit $xy$ : $\mathrm{d}(xy)=y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y$. Donc $\delta W_1=\mathrm{d}(\alpha xy)$, et, puisque l'on veut $\delta W_1=-\mathrm{d}{E}_{\mathrm{p}1}$, $$E_{\mathrm{p}1}(x,y)=-\alpha xy+\text{cte}.$$ Vérification par le gradient : $\frac{\partial E_{\mathrm{p}1}}{\partial x}=-\alpha y$ et $\frac{\partial E_{\mathrm{p}1}}{\partial y}=-\alpha x$, donc $-\overrightarrow{\mathrm{grad}}{E}_{\mathrm{p}1}=\alpha y{\overrightarrow{e}}_x+\alpha x{\overrightarrow{e}}_y={\overrightarrow{F}}_1$. On retrouve alors les résultats du 1) sans calcul : $W_{O\to A}=E_{\mathrm{p}1}(O)-E_{\mathrm{p}1}(A)=0-(-\alpha a^2)=\alpha a^2$, quel que soit le chemin.

3) ${\overrightarrow{F}}_2$ en polaires, et le travail sur un cercle. Avec $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$ et ${\overrightarrow{e}}_{\theta }=-\sin \theta {\overrightarrow{e}}_x+\cos \theta {\overrightarrow{e}}_y$, on a $r{\overrightarrow{e}}_{\theta }=-y{\overrightarrow{e}}_x+x{\overrightarrow{e}}_y$. Donc $${\overrightarrow{F}}_2=\alpha (y{\overrightarrow{e}}_x-x{\overrightarrow{e}}_y)=-\alpha r{\overrightarrow{e}}_{\theta }.$$ C'est une force orthoradiale, qui tourne dans le sens horaire autour de $O$ : un « tourbillon ». Sur le cercle de rayon $a$, $\mathrm{d}\overrightarrow{OM}=a\mathrm{d}\theta {\overrightarrow{e}}_{\theta }$, d'où $\delta W_2=-\alpha a\cdot a\mathrm{d}\theta$, et sur un tour ($\theta$ de $0$ à $2\pi$) : $$W_2^{\text{cercle}}=-2\pi \alpha a^2\ne 0.$$ Pourquoi cela suffit. Si ${\overrightarrow{F}}_2$ dérivait d'une énergie potentielle, son travail de $M$ à $M$ vaudrait $E_{\mathrm{p}}(M)-E_{\mathrm{p}}(M)=0$ sur tout chemin fermé. Un seul chemin fermé de travail non nul contredit cette conséquence : par contraposée, ${\overrightarrow{F}}_2$ n'est pas conservative.

4) Le frottement. La force est $\overrightarrow{f}=-f\frac{\overrightarrow{v}}{\Vert \overrightarrow{v}\Vert }$, donc sa puissance est $\mathcal{P}=\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{v}=-f\Vert \overrightarrow{v}\Vert \le 0$ : elle est toujours résistante, et son travail sur un chemin de longueur $L$ parcouru dans un seul sens vaut $W=\int -f\Vert \overrightarrow{v}\Vert \mathrm{d}t=-fL$. Le long de $[OA]$, $L=a\sqrt{2}$, d'où $W=-\sqrt{2}fa\approx -1,41fa$ ; le long de $O\to B\to A$, $L=2a$, d'où $W=-2fa$. Le travail du frottement dépend du chemin, et il est même proportionnel à sa longueur : le frottement n'est pas conservatif, et il ne peut pas l'être, puisque sur un chemin fermé de longueur non nulle son travail est strictement négatif.

Ce que l'exercice installe. Trois réflexes. Calculer un travail, c'est paramétrer un chemin. Pour montrer qu'une force est conservative, on exhibe une énergie potentielle (et l'on vérifie $\overrightarrow{F}=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}{E}_{\mathrm{p}}$) ; pour montrer qu'elle ne l'est pas, il suffit d'un chemin fermé de travail non nul. Et un frottement est toujours résistant, de travail $-fL$ si sa norme est constante. (Un champ électrique induit a la structure « tourbillon » de ${\overrightarrow{F}}_2$ : c'est pourquoi il fait circuler un courant dans une spire fermée.)