Le tremplin de saut à ski — exercice corrigé de mécanique (PTSI) (chapitre 3)

Le tremplin de saut à ski

Approche énergétique du mouvement d'un point · niveau 2

Énoncé

Un sauteur à ski s'élance, immobile, du sommet d'une rampe d'élan. Il descend une dénivelée $h = 60 m$ jusqu'à la table de décollage. La piste glisse bien mais pas parfaitement : les frottements dissipent $9, 0 kJ$ , autrement dit leur travail vaut $W_{f} = - 9, 0 kJ$ . Le système \{skieur + skis\} a une masse $m = 70 kg$ . On prend $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Établir le bilan d'énergie mécanique entre le départ et le décollage : exprimer $Δ E_{m}$ en fonction de $W_{f}$ .
En déduire la vitesse $v$ au décollage. La comparer à la vitesse $v_{0}$ d'un skieur idéal sans frottement.
Quelle fraction de l'énergie potentielle de départ a été dissipée ?
Si la rampe était deux fois plus haute (mêmes frottements relatifs), par quel facteur $v$ serait-elle multipliée ? Commenter.

Corrigé

1. À cause des frottements, $E_{m}$ n'est pas conservée. Le théorème de l'énergie mécanique donne $Δ E_{m} = W_{f} < 0$ .

2. Au départ $E_{c} = 0$ , $E_{p} = m g h$ ; au décollage $E_{p} = 0$ , $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}$ . Donc $\frac{1}{2} m v^{2} - m g h = W_{f}$ , soit

$v = 2 g h + \frac{2 W _{f}}{m} = 2 (9, 81) (60) + \frac{2 ( - 9000 )}{70} \approx 1177 - 257 \approx 30 m / s .$

Sans frottement, $v_{0} = 2 g h \approx 34 m / s$ : les frottements coûtent environ $4 m / s$ .

3. Énergie potentielle de départ : $m g h = 70 \times 9, 81 \times 60 \approx 41 kJ$ . Fraction dissipée : $\frac{9 , 0}{41} \approx 0, 22$ (22 %).

4. À pertes relatives égales (22 % de $m g h$ dissipés), $\frac{1}{2} m v^{2} = 0, 78 m g h$ , donc $v = 2 \times 0, 78 g h \propto h$ : doubler $h$ multiplie $v$ par $2 \approx 1, 4$ (et non par 2), comme sans frottement. Gagner de la hauteur est utile mais à rendement décroissant.

Important

Ce que ça nous apprend. En présence de frottements, le déficit d'énergie mécanique $Δ E_{m} = W_{f} < 0$ mesure exactement l'énergie dissipée. La vitesse acquise varie comme $h$ , ce qui explique la hauteur des tremplins.