Problème — La période du pendule : formule de Borda

1) L'énergie mécanique. Système et forces. Le point $M$, dans le référentiel terrestre galiléen, est soumis à son poids et à la tension du fil. Le mouvement est circulaire de rayon $\ell$ : la vitesse vaut $\ell \dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$, et la tension, dirigée selon le fil, est perpendiculaire à la vitesse : elle ne travaille pas. Le poids est conservatif, d'énergie potentielle $mgz$ avec $z$ l'altitude au-dessus du point le plus bas, soit $z=\ell (1-\cos \theta )$. Le mouvement est donc conservatif, et $$E_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}m{\ell }^2{\dot{\theta }}^2+mg\ell (1-\cos \theta )=\text{cte}.$$ L'équation du mouvement. En dérivant par rapport au temps : $m{\ell }^2\dot{\theta }\ddot{\theta }+mg\ell \sin \theta \dot{\theta }=0$, soit $m{\ell }^2\dot{\theta }(\ddot{\theta }+{\omega }_0^2\sin \theta )=0$. Le facteur $\dot{\theta }$ ne s'annule qu'en des instants isolés (les rebroussements) ; par continuité, $\ddot{\theta }+{\omega }_0^2\sin \theta =0$ à chaque instant. L'énergie retrouve l'équation du chapitre précédent sans se soucier de la tension.

2) Le graphe de l'énergie potentielle. $E_{\mathrm{p}}(\theta )=mg\ell (1-\cos \theta )$ vaut $0$ en $\theta =0$ et atteint son maximum $2mg\ell$ en $\theta =\pi$. Équilibres : $E_{\mathrm{p}}^{\prime }(\theta )=mg\ell \sin \theta =0$, en $\theta =0$ (minimum, $E_{\mathrm{p}}^{\prime \prime }(0)=mg\ell >0$ : stable, le pendule pend) et en $\theta =\pi$ (maximum, $E_{\mathrm{p}}^{\prime \prime }(\pi )=-mg\ell <0$ : instable, le pendule à l'envers). Le puits harmonique. Près de $0$, $E_{\mathrm{p}}\simeq \frac{1}{2}mg\ell {\theta }^2$ ; comme l'énergie cinétique s'écrit $\frac{1}{2}(m{\ell }^2){\dot{\theta }}^2$, le rôle de la « masse » est joué par $m{\ell }^2$, et la pulsation des petites oscillations est $\sqrt{mg\ell /(m{\ell }^2)}=\sqrt{g/\ell }={\omega }_0$.

Selon $E_{\mathrm{m}}$. Si $0<E_{\mathrm{m}}<2mg\ell$, la droite d'ordonnée $E_{\mathrm{m}}$ coupe le graphe en deux angles opposés $\pm {\theta }_0$ : le pendule oscille entre eux. Si $E_{\mathrm{m}}>2mg\ell$, elle passe au-dessus du maximum : $\dot{\theta }$ ne s'annule jamais, le pendule fait des tours complets dans le même sens, c'est un mouvement de révolution. Le cas $E_{\mathrm{m}}=2mg\ell$ est la séparatrice : le pendule s'approche indéfiniment de la position renversée sans jamais l'atteindre en un temps fini.

3) L'intégrale première et la période. Lâché sans vitesse en ${\theta }_0$, le pendule a l'énergie $E_{\mathrm{m}}=mg\ell (1-\cos {\theta }_0)$. La conservation donne $\frac{1}{2}m{\ell }^2{\dot{\theta }}^2=mg\ell (\cos \theta -\cos {\theta }_0)$, soit $${\dot{\theta }}^2=2{\omega }_0^2(\cos \theta -\cos {\theta }_0).$$ Le quart de période. De $\theta =0$ à ${\theta }_0$, $\dot{\theta }={\omega }_0\sqrt{2(\cos \theta -\cos {\theta }_0)}>0$ : $\theta$ est strictement croissante et $\mathrm{d}t=\mathrm{d}\theta /\dot{\theta }$. Cette phase dure donc $$\frac{1}{{\omega }_0}{\int }_0^{{\theta }_0}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{2(\cos \theta -\cos {\theta }_0)}}.$$ Le facteur 4. Une oscillation complète se décompose en quatre phases : de $0$ à ${\theta }_0$, de ${\theta }_0$ à $0$, de $0$ à $-{\theta }_0$, de $-{\theta }_0$ à $0$. Les quatre ont la même durée, pour deux raisons. Par parité de $E_{\mathrm{p}}$ (la fonction $\cos$ est paire), la vitesse angulaire ne dépend que de $|\theta |$ : $|\dot{\theta }|$ a la même valeur en $\theta$ et en $-\theta$, donc les phases situées du côté négatif durent autant que leurs symétriques du côté positif. Par réversibilité (l'équation ne contient que $\ddot{\theta }$, elle est inchangée quand on change $t$ en $-t$), le retour de ${\theta }_0$ à $0$ dure autant que l'aller. D'où le résultat.

Le point délicat. L'intégrale est impropre : l'intégrande tend vers l'infini en ${\theta }_0$, où la vitesse s'annule. Elle converge pourtant : au voisinage de ${\theta }_0$, $\cos \theta -\cos {\theta }_0\simeq \sin {\theta }_0({\theta }_0-\theta )$, et l'intégrande se comporte comme $({\theta }_0-\theta {)}^{-1/2}$, qui est intégrable. Le changement de variable du 4) va supprimer cette singularité.

4) Le changement de variable. Le numérateur. Avec $\cos \theta =1-2{\sin }^2(\theta /2)$ : $$\cos \theta -\cos {\theta }_0=2({\sin }^2({\theta }_0/2)-{\sin }^2(\theta /2))=2k^2(1-{\sin }^2\phi )=2k^2{\cos }^2\phi ,$$ d'où $\sqrt{2(\cos \theta -\cos {\theta }_0)}=2k\cos \phi$, puisque $\cos \phi \ge 0$ sur $[0,\pi /2]$. L'élément différentiel. En différentiant $\sin (\theta /2)=k\sin \phi$ : $\frac{1}{2}\cos (\theta /2)\mathrm{d}\theta =k\cos \phi \mathrm{d}\phi$, et $\cos (\theta /2)=\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }$ (positif, car $\theta /2\in [0,\pi /2[$). Donc $$\mathrm{d}\theta =\frac{2k\cos \phi \mathrm{d}\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}.$$ Les bornes. $\theta =0$ correspond à $\phi =0$, et $\theta ={\theta }_0$ à $\sin \phi =1$, soit $\phi =\pi /2$ ; l'application $\phi \mapsto \theta$ est une bijection croissante entre les deux intervalles. En reportant, le facteur $2k\cos \phi$ se simplifie : $$\boxed{T=\frac{4}{{\omega }_0}{\int }_0^{\pi /2}\frac{\mathrm{d}\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}},k=\sin \frac{{\theta }_0}{2}.$$ L'intégrande est maintenant continu sur $[0,\pi /2]$ : la singularité a disparu. La limite. Quand ${\theta }_0\to 0$, $k\to 0$ et l'intégrande tend vers $1$ ; l'intégrale tend vers $\pi /2$, et $T\to \frac{4}{{\omega }_0}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=T_0$. On retrouve l'isochronisme des petites oscillations, conséquence du puits harmonique.

5) La formule de Borda. On applique le développement donné avec $x=-k^2{\sin }^2\phi$ : $(1-k^2{\sin }^2\phi {)}^{-1/2}=1+\frac{1}{2}{k}^2{\sin }^2\phi +O(k^4)$, le $O(k^4)$ étant uniforme en $\phi$ puisque ${\sin }^2\phi \le 1$. On intègre terme à terme : $${\int }_0^{\pi /2}\frac{\mathrm{d}\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}=\frac{\pi }{2}+\frac{k^2}{2}{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^2\phi \mathrm{d}\phi +O(k^4)=\frac{\pi }{2}+\frac{k^2}{2}\cdot \frac{\pi }{4}+O(k^4),$$ car la valeur moyenne de ${\sin }^2$ sur $[0,\pi /2]$ est $\frac{1}{2}$ (puisque ${\sin }^2\phi =\frac{1}{2}(1-\cos 2\phi )$). Donc $T=T_0\left(1+\frac{k^2}{4}+O(k^4)\right)$. Enfin $k=\sin ({\theta }_0/2)=\frac{{\theta }_0}{2}+O({\theta }_0^3)$, d'où $k^2=\frac{{\theta }_0^2}{4}+O({\theta }_0^4)$ et $$\boxed{T=T_0\left(1+\frac{{\theta }_0^2}{16}+O({\theta }_0^4)\right)}\text{(formule de Borda).}$$ Vérifications. Le terme correctif est sans dimension (un angle en radians au carré), comme il se doit ; il est positif : la période augmente avec l'amplitude, ce qui est cohérent : la force de rappel $mg\ell \sin \theta$ est plus faible que $mg\ell \theta$.

6) Ordres de grandeur.

La formule de Borda est excellente jusqu'à $30^{\circ }$ ; à $90^{\circ }$ elle sous-estime la correction d'environ $15\%$. Même à $10^{\circ }$, l'écart à $T_0$ est de deux millièmes : bien plus que ce que tolère une horloge.

L'horloge. Quand l'amplitude passe de ${\theta }_1=5^{\circ }$ à ${\theta }_2=4^{\circ }$, la période diminue, de $$\frac{\Delta T}{T}\simeq \frac{{\theta }_1^2-{\theta }_2^2}{16}=\frac{(0,0873{)}^2-(0,0698{)}^2}{16}\approx 1,71\times 10^{-4}.$$ Le balancier bat plus vite : l'horloge avance, de $1,71\times 10^{-4}\times 86400\approx 15\mathrm{s}$ par jour : les horlogers entretiennent donc une amplitude constante.

Le résultat établi — la formule de Borda. La période d'un pendule simple d'amplitude ${\theta }_0$ est $T=\frac{4}{{\omega }_0}{\int }_0^{\pi /2}\frac{\mathrm{d}\phi }{\sqrt{1-{\sin }^2({\theta }_0/2){\sin }^2\phi }}$ ; elle croît avec l'amplitude, et pour les petites amplitudes $T\simeq T_0\left(1+\frac{{\theta }_0^2}{16}\right)$. L'isochronisme du pendule n'est qu'une approximation, celle du puits harmonique.

Ce que le problème installe. Toute la méthode du mouvement conservatif à une dimension : intégrale première, graphe de $E_{\mathrm{p}}$, puits harmonique, puis période d'un mouvement borné sous forme d'intégrale entre deux rebroussements, régularisée par un changement de variable et développée à l'ordre utile. Le non-isochronisme du pendule pesant sera vérifié numériquement au chapitre sur le solide.