Une perle, un ressort oblique : la bifurcation

1) L'énergie potentielle. Le poids est vertical et la perle se déplace horizontalement : il est perpendiculaire à la vitesse et ne travaille pas. La réaction de la tige, sans frottement, est perpendiculaire à la tige : elle ne travaille pas non plus. Seule la tension du ressort travaille, et elle dérive de $\frac{1}{2}k(\ell -{\ell }_0{)}^2$, où $\ell =AM=\sqrt{x^2+d^2}$ est la longueur du ressort. Donc $$E_{\mathrm{p}}(x)=\frac{1}{2}k{\left(\sqrt{x^2+d^2}-{\ell }_0\right)}^2.$$

2) Les équilibres. On dérive : $E_{\mathrm{p}}^{\prime }(x)=k\left(\sqrt{x^2+d^2}-{\ell }_0\right)\frac{x}{\sqrt{x^2+d^2}}=kx\left(1-\frac{{\ell }_0}{\sqrt{x^2+d^2}}\right)$. Elle s'annule si $x=0$, ou si $\sqrt{x^2+d^2}={\ell }_0$, c'est-à-dire $x^2={\ell }_0^2-d^2$, ce qui n'a de solution que si $d\le {\ell }_0$. La dérivée seconde, calculée à partir de l'expression précédente, est $$E_{\mathrm{p}}^{\prime \prime }(x)=k\left(1-\frac{{\ell }_0}{\sqrt{x^2+d^2}}\right)+\frac{k{\ell }_0{x}^2}{(x^2+d^2{)}^{3/2}}.$$ En $x=0$ : $E_{\mathrm{p}}^{\prime \prime }(0)=k\left(1-\frac{{\ell }_0}{d}\right)$.

Si $d>{\ell }_0$, $x=0$ est le seul équilibre, et il est stable ($E_{\mathrm{p}}^{\prime \prime }(0)>0$). Le ressort, toujours tendu, ramène la perle à l'aplomb de $A$.

Si $d<{\ell }_0$, $x=0$ est instable ($E_{\mathrm{p}}^{\prime \prime }(0)<0$) : à l'aplomb de $A$, le ressort est comprimé et repousse la perle dès qu'elle s'écarte. Deux nouveaux équilibres apparaissent en $x_{\pm }=\pm \sqrt{{\ell }_0^2-d^2}$, où le ressort a exactement sa longueur à vide ; on y a $E_{\mathrm{p}}^{\prime \prime }(x_{\pm })=0+\frac{k{\ell }_0({\ell }_0^2-d^2)}{{\ell }_0^3}=k\left(1-\frac{d^2}{{\ell }_0^2}\right)>0$ : ils sont stables.

3) Les allures, et la fourche. Pour $d>{\ell }_0$, $E_{\mathrm{p}}$ est une cuvette unique centrée en $0$. Pour $d<{\ell }_0$, c'est un double puits : deux minima nuls en $x_{\pm }$, séparés par une bosse en $0$ de hauteur $\frac{1}{2}k({\ell }_0-d{)}^2$. Dans le plan $(d,x_e)$ : pour $d>{\ell }_0$, une seule branche $x_e=0$ en trait plein ; en $d={\ell }_0$, elle passe en pointillés (instable) pour $d<{\ell }_0$, et deux branches en trait plein en naissent, $x_e=\pm \sqrt{{\ell }_0^2-d^2}$, qui forment un demi-cercle de rayon ${\ell }_0$. Une branche qui se divise en trois, comme les dents d'une fourche : c'est une bifurcation en fourche. Le même scénario décrit le flambage d'une règle comprimée, qui fléchit d'un côté ou de l'autre au-delà d'une charge critique.

4) Les petits mouvements. Au voisinage d'un équilibre stable $x_e$, on pose $X=x-x_e$ ; le développement de Taylor $E_{\mathrm{p}}(x)\simeq E_{\mathrm{p}}(x_e)+\frac{1}{2}{E}_{\mathrm{p}}^{\prime \prime }(x_e)X^2$ donne, par conservation de l'énergie mécanique dérivée (ou par $m\ddot{x}=-E_{\mathrm{p}}^{\prime }(x)$), $m\ddot{X}+E_{\mathrm{p}}^{\prime \prime }(x_e)X=0$ : un oscillateur harmonique de pulsation $\sqrt{E_{\mathrm{p}}^{\prime \prime }(x_e)/m}$. D'où $$\omega ={\omega }_0\sqrt{1-\frac{{\ell }_0}{d}}(d>{\ell }_0),\omega ={\omega }_0\sqrt{1-\frac{d^2}{{\ell }_0^2}}(d<{\ell }_0).$$ Cas limites. Quand $d\to +\infty$, la raideur effective $E_{\mathrm{p}}^{\prime \prime }(0)=k(1-{\ell }_0/d)$ tend vers $k$ et $\omega \to {\omega }_0$ : la longueur à vide devient négligeable devant $d$. Quand $d\to {\ell }_0$, des deux côtés, $\omega \to 0$ : la raideur effective s'annule, le puits s'aplatit, les oscillations deviennent infiniment lentes. C'est le ralentissement critique, signature universelle d'une bifurcation.

5) Le seuil. Pour $d={\ell }_0$ et $|x|\ll {\ell }_0$ : $\sqrt{x^2+{\ell }_0^2}={\ell }_0\sqrt{1+x^2/{\ell }_0^2}={\ell }_0+\frac{x^2}{2{\ell }_0}+O(x^4)$, donc $\sqrt{x^2+{\ell }_0^2}-{\ell }_0\simeq \frac{x^2}{2{\ell }_0}$, et $$E_{\mathrm{p}}(x)\simeq \frac{1}{2}k{\left(\frac{x^2}{2{\ell }_0}\right)}^2=\frac{k{x}^4}{8{\ell }_0^2}.$$ Le terme quadratique est nul : $E_{\mathrm{p}}^{\prime \prime }(0)=0$, l'approximation du puits harmonique est impossible. L'équilibre reste stable (minimum de $E_{\mathrm{p}}$), mais la force de rappel, $-\frac{k{x}^3}{2{\ell }_0^2}$, est cubique.

Analyse dimensionnelle. L'équation $m\ddot{x}=-\frac{k}{2{\ell }_0^2}{x}^3$ ne fait intervenir que $m$ (en $\mathrm{kg}$) et le coefficient $\lambda =\frac{k}{2{\ell }_0^2}$ (en $\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-3}=\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{s}}^{-2}$) ; la période ne dépend que de $m$, $\lambda$ et de l'amplitude $X$ (les conditions initiales). On cherche $T=C{m}^{\alpha }{\lambda }^{\beta }{X}^{\gamma }$ : le kilogramme impose $\alpha +\beta =0$, la seconde $-2\beta =1$, le mètre $-2\beta +\gamma =0$. D'où $\beta =-\frac{1}{2}$, $\alpha =\frac{1}{2}$, $\gamma =-1$ : $$T=C\sqrt{\frac{m}{\lambda }}\frac{1}{X}=C^{\prime }\frac{{\ell }_0}{X}\sqrt{\frac{m}{k}}.$$ Plus l'amplitude est petite, plus l'oscillation est lente : le contraire exact de l'isochronisme.

Ce que l'exercice installe. Les équilibres et leur stabilité dépendent des paramètres ; quand un paramètre franchit une valeur critique, un équilibre stable peut devenir instable et en engendrer deux autres. Au seuil, la dérivée seconde s'annule et l'approximation harmonique tombe : il faut aller à l'ordre suivant du développement, et l'analyse dimensionnelle suffit alors à prévoir la loi de la période.