Le satellite géostationnaire : où, à quelle altitude, que voit-il ?

La stratégie. « Immobile par rapport au sol » impose deux conditions bien distinctes : une période (celle de la rotation terrestre), qui fixe l'altitude par la troisième loi de Kepler ; et un plan, que la conservation du moment cinétique fixe.

1) Le plan équatorial. Immobile par rapport au sol, le satellite tourne avec la Terre : dans le référentiel géocentrique, il décrit un cercle centré en un point $K$ de l'axe des pôles, dans le plan perpendiculaire à l'axe passant par lui. Or la seule force est l'attraction de la Terre, centrale de centre $O$ ; le moment cinétique en $O$ est conservé et le mouvement est plan, dans un plan qui contient $O$. Le plan du cercle contient donc $O$ et est perpendiculaire à l'axe des pôles : c'est le plan équatorial, et $K=O$. Au-dessus d'une latitude non nulle, le cercle serait centré hors de $O$ : impossible. Sur une orbite inclinée de même période, le satellite oscillerait chaque jour en latitude.

2) La période. La période de rotation de la Terre dans le référentiel géocentrique (axes vers des étoiles lointaines) est le jour sidéral, $86164\mathrm{s}$ ; le jour solaire est plus long parce que la Terre, ayant avancé d'environ $1^{\circ }$ sur son orbite, doit tourner d'environ $361^{\circ }$ pour retrouver le Soleil. Avec $86400\mathrm{s}$, on placerait le satellite $77\mathrm{km}$ trop haut et il dériverait d'environ un degré par jour vers l'ouest.

3) L'orbite. La troisième loi de Kepler pour le cercle donne $$r={\left(\frac{\mathcal{G}{M}_T{T}_{\mathrm{sid}}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{1/3}=4,216\times 10^7\mathrm{m}=42164\mathrm{km},$$ soit $6,6$ rayons terrestres, d'où $h=r-R_T=35786\mathrm{km}$ et $v=2\pi r/T_{\mathrm{sid}}=3,07\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$ — deux fois et demie moins vite qu'en orbite basse.

4) La zone visible. Un point du sol voit le satellite s'il est au-dessus de son horizon, c'est-à-dire si la droite qui les joint ne rentre pas dans la Terre. À la limite, cette droite est tangente à la Terre, et le triangle formé par le centre $O$, le point de tangence $P$ et le satellite $S$ est rectangle en $P$. L'angle en $O$ vérifie $\cos {\lambda }_{\max }=\frac{R_T}{r}$ : $${\lambda }_{\max }=\arccos \frac{6378}{42164}=81,3^{\circ }.$$ Au-delà de $81^{\circ }$ de latitude, aucun satellite géostationnaire n'est visible ; en pratique, le satellite rasant l'horizon, le signal devient inexploitable vers $70^{\circ }$. Trois satellites espacés de $120^{\circ }$ couvrent la Terre, régions polaires exceptées.

5) Le délai. À la verticale, l'aller-retour vaut $2h/c=0,24\mathrm{s}$. En limite de visibilité, la distance est $SP=\sqrt{r^2-R_T^2}=41679\mathrm{km}$, et l'aller-retour $0,28\mathrm{s}$. Pour une conversation relayée par un satellite géostationnaire, la réponse arrive au moins une demi-seconde après la question (aller-retour de la voix, puis de la réponse) : c'est perceptible et gênant. D'où les câbles sous-marins et les constellations en orbite basse pour la téléphonie et l'internet.

Homogénéité : $\mathcal{G}{M}_T{T}^2$ s'exprime en ${\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-2}\cdot {\mathrm{s}}^2={\mathrm{m}}^3$, et sa racine cubique en mètres.

Ce que l'exercice installe. Le programme demande de « justifier la localisation dans le plan équatorial » : c'est une conséquence directe de la planéité du mouvement à force centrale, qui impose au plan de l'orbite de contenir le centre de la Terre. Et l'on retient la distinction entre jour sidéral et jour solaire, qui n'est pas un détail : elle déplace l'orbite de près de cent kilomètres.