Le satellite météorologique en orbite polaire

La stratégie. La troisième loi de Kepler fixe la période, la conservation du moment cinétique fixe le plan, la rotation de la Terre fait le reste.

1) Vitesse et période. $r=R_T+h=7171\mathrm{km}$. Pour l'orbite circulaire, $v=\sqrt{\mathcal{G}{M}_T/r}=7,46\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $$T=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{\mathcal{G}{M}_T}}=6043\mathrm{s}=100,7\min .$$

2) Révolutions par jour. $86400/6043=14,3$ révolutions par jour.

3) Le décalage des traces. La seule force est l'attraction de la Terre, centrale de centre $O$ : le moment cinétique ${\overrightarrow{L}}_O$ est constant, et le mouvement a lieu dans le plan fixe passant par $O$ et orthogonal à ${\overrightarrow{L}}_O$. Ce plan ne tourne pas avec la Terre. Pendant une révolution, la Terre tourne sur elle-même de $$\Delta \phi =360^{\circ }\times \frac{T}{T_{\mathrm{sid}}}=360^{\circ }\times \frac{6043}{86164}=25,2^{\circ }.$$ Deux passages successifs à l'équateur, dans le même sens, sont donc décalés de $25,2^{\circ }$ de longitude vers l'ouest, soit, à l'équateur, $R_T\Delta \phi =6371\mathrm{km}\times 0,441\mathrm{rad}\approx 2,81\times 10^3\mathrm{km}$. On a utilisé le jour sidéral, la rotation de la Terre par rapport aux étoiles, qui est celle qu'on observe dans le référentiel géocentrique. (Les orbites météorologiques réelles tournent en outre lentement, d'un tour par an, pour garder la même orientation par rapport au Soleil : effet de l'aplatissement terrestre, hors du modèle.)

4) La fauchée. En une journée, les $14,3$ passages de jour (sur la face éclairée, dans un sens) coupent l'équateur en des points espacés de $2,81\times 10^3\mathrm{km}$. Pour que les bandes observées se touchent, il faut $L\gtrsim 2,8\times 10^3\mathrm{km}$. C'est énorme — plus du tiers du rayon terrestre —, et c'est pourtant l'ordre de grandeur de la fauchée des radiomètres embarqués sur les satellites météorologiques polaires (environ $2900\mathrm{km}$) : la largeur de l'instrument a été dimensionnée par ce calcul. Aux latitudes plus élevées, les traces se resserrent (elles convergent toutes vers les pôles) et se recouvrent.

5) Polaire contre géostationnaire. L'orbite polaire passe au-dessus de tous les points du globe, pôles compris, à basse altitude, donc avec une bonne résolution — mais elle ne revoit une région qu'environ deux fois par jour. Le satellite géostationnaire (exercice suivant) voit en permanence la même région, ce qui permet de suivre l'évolution des nuages, mais de très loin ($36000\mathrm{km}$) et sans voir les régions polaires. Les deux familles sont complémentaires. On différencie ainsi les orbites selon les missions : basse et polaire pour la couverture globale fine, géostationnaire pour la surveillance continue, moyenne (vers $20000\mathrm{km}$) pour la navigation.

Ce que l'exercice installe. Trois résultats du chapitre combinés : la troisième loi de Kepler (période), la conservation de ${\overrightarrow{L}}_O$ (plan fixe), la rotation propre de la Terre (décalage des traces). Et la conversion d'un résultat de mécanique en cahier des charges d'un instrument : un ordre de grandeur bien calculé dimensionne la fauchée.