Les satellites galiléens pèsent Jupiter

La stratégie. Une loi de puissance $T\propto a^{3/2}$ devient une droite en coordonnées logarithmiques. On ne teste pas une formule sur un seul point : on vérifie l'exposant sur tous les points, puis l'ordonnée à l'origine donne la masse.

1) Le mouvement circulaire et la troisième loi. Dans le référentiel « jupiterocentrique », supposé galiléen, le satellite n'est soumis qu'à $\overrightarrow{F}=-\frac{\mathcal{G}m{M}_J}{a^2}{\overrightarrow{u}}_r$. En polaires, pour $r=a$ constant, l'accélération vaut $-a{\dot{\theta }}^2{\overrightarrow{u}}_r+a\ddot{\theta }{\overrightarrow{u}}_{\theta }$. La projection sur ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$ du principe fondamental donne $ma\ddot{\theta }=0$ : $\dot{\theta }$ est constant, le mouvement est uniforme (c'est aussi la loi des aires avec $r$ constant). La projection sur ${\overrightarrow{u}}_r$ donne $$ma{\dot{\theta }}^2=\frac{\mathcal{G}m{M}_J}{a^2}⟹{\dot{\theta }}^2=\frac{\mathcal{G}{M}_J}{a^3}.$$ Avec $T=2\pi /\dot{\theta }$, $T^2=\frac{4{\pi }^2}{\mathcal{G}{M}_J}{a}^3$. La masse $m$ se simplifie parce qu'elle est à la fois la masse grave (dans la force) et la masse inerte (dans le principe fondamental) : tous les corps tombent de la même façon, et le satellite « ne se pèse pas lui-même ».

2) La droite. En prenant le logarithme : $$\ln T=\frac{3}{2}\ln a+\frac{1}{2}\ln \frac{4{\pi }^2}{\mathcal{G}{M}_J}.$$ Les points $(\ln a,\ln T)$ sont alignés sur une droite de pente $3/2$, d'ordonnée à l'origine $b=\frac{1}{2}\ln \frac{4{\pi }^2}{\mathcal{G}{M}_J}$, les grandeurs étant exprimées en unités SI.

3) La régression.

import numpy as np
a = np.array([421700, 671034, 1070412, 1882709]) * 1e3   # m
T = np.array([1.769, 3.551, 7.155, 16.689]) * 86400   # s
pente, b = np.polyfit(np.log(a), np.log(T), 1)
b32 = np.mean(np.log(T) - 1.5 * np.log(a))   # pente imposée 3/2
print(pente, 4 * np.pi**2 * np.exp(-2 * b32) / 6.674e-11)

Résultat de l'exécution :

1.5000660059043587 1.8986658595997876e+27

La pente vaut $1,5001$ : l'exposant $3/2$ est vérifié à $10^{-4}$ près, sur un facteur $4,5$ en distance et $9,4$ en période. C'est la troisième loi de Kepler, et elle confirme que la force décroît comme $1/r^2$ (une force en $1/r^p$ donnerait sur des orbites circulaires $T\propto a^{(p+1)/2}$). En imposant la pente $3/2$, on calcule l'ordonnée à l'origine comme la moyenne des $\ln T-\frac{3}{2}\ln a$, et $$M_J=\frac{4{\pi }^2}{\mathcal{G}}{\mathrm{e}}^{-2b}=1,90\times 10^{27}\mathrm{kg}.$$ Les quatre satellites, pris un à un, donnent tous $1,898$ à $1,899\times 10^{27}\mathrm{kg}$ ; la régression à pente libre donne $1,90\times 10^{27}\mathrm{kg}$ elle aussi.

4) Homogénéité et ordre de grandeur. $\mathcal{G}{M}_J$ s'exprime en ${\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-2}$, donc $a^3/(\mathcal{G}{M}_J)$ en ${\mathrm{s}}^2$ : la relation est homogène. Le rapport $M_J/M_T\approx 318$ : Jupiter pèse plus de trois cents Terres, plus que toutes les autres planètes réunies.

Ce que l'exercice installe. Deux outils. La troisième loi de Kepler comme balance astronomique : une période et une distance donnent la masse du corps central — c'est ainsi qu'on pèse planètes, étoiles doubles et le trou noir du centre de la Galaxie. Et la loi de puissance en coordonnées logarithmiques : une pente vérifie un exposant, une ordonnée à l'origine donne une constante.