mécanique (PTSI) · Chapitre 7 · Exercice de TD

Problème : le transfert de Hohmann

Mouvements dans un champ de force centrale conservatif · C. Le champ newtonien · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un satellite de masse $m$ est en orbite circulaire basse de rayon $r_{1}$ autour de la Terre ; on veut le placer sur l'orbite géostationnaire, circulaire de rayon $r_{2} > r_{1}$ , dans le même plan. Le moteur agit par impulsions : chaque allumage est assez bref pour modifier la vitesse sans modifier la position. On appelle incrément de vitesse $Δ v$ la variation de norme de la vitesse produite par un allumage ; la consommation de carburant croît avec $Δ v$ . On donne $G M_{T} = 3, 986 \times 1 0^{14} m^{3} s^{- 2}$ , $R_{T} = 6378 km$ , $r_{1} = 6678 km$ ( $300 km$ d'altitude) et $r_{2} = 42164 km$ .

Orbite circulaire de rayon $r$ : rappeler la vitesse $v_{c} (r)$ et l'énergie mécanique $E_{m} = - \frac{G m M _{T}}{2 r}$ . Calculer $v_{1} = v_{c} (r_{1})$ et $v_{2} = v_{c} (r_{2})$ .

L'orbite de transfert est une ellipse tangente aux deux cercles : son périgée est à la distance $r_{1}$ , son apogée à la distance $r_{2}$ . En écrivant les deux constantes du mouvement, $C$ et $E_{m}$ , au périgée et à l'apogée, montrer que $E_{m} = - \frac{G m M _{T}}{r _{1} + r _{2}}$ .

En déduire la vitesse au périgée $v_{p} = v_{1} \frac{2 r _{2}}{r _{1} + r _{2}}$ et la vitesse à l'apogée $v_{a} = v_{p} \frac{r _{1}}{r _{2}}$ . Les calculer.

Calculer les incréments de vitesse $Δ v_{1}$ au périgée et $Δ v_{2}$ à l'apogée, et leur somme. Où, et dans quel sens, faut-il allumer le moteur à chaque fois ?

Calculer la durée du transfert.

Cas limite $r_{2} \to + \infty$ : que deviennent $Δ v_{1}$ , $Δ v_{2}$ et l'énergie de l'orbite de transfert ? Interpréter, puis vérifier l'homogénéité des formules obtenues. Énoncer le résultat établi.

Corrigé

La stratégie. Un allumage bref fait passer d'une orbite à une autre qui passe par le même point. On calcule tout par les deux constantes du mouvement, écrites aux apsides, où la vitesse est orthoradiale : aucune géométrie de l'ellipse n'est nécessaire.

1) Les orbites circulaires. Le principe fondamental en projection radiale, $\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{G m M _{T}}{r ^{2}}$ , donne $v_{c} (r) = \frac{G M _{T}}{r}, E_{m} = \frac{1}{2} m v_{c}^{2} - \frac{G m M _{T}}{r} = - \frac{G m M _{T}}{2 r} .$ Numériquement, $v_{1} = 7, 73 km s^{- 1}$ et $v_{2} = 3, 07 km s^{- 1}$ . L'orbite haute est la plus lente, mais la plus énergétique : par unité de masse, $E_{m}$ passe de $- 29, 8$ à $- 4, 7 MJ k g^{- 1}$ .

2) L'énergie de l'ellipse de transfert. Au périgée et à l'apogée, $r ˙ = 0$ : la vitesse est orthoradiale et la constante des aires vaut $C = r_{1} v_{p} = r_{2} v_{a}$ . La conservation de l'énergie entre ces deux points s'écrit $\frac{1}{2} m v_{p}^{2} - \frac{G m M _{T}}{r _{1}} = \frac{1}{2} m v_{a}^{2} - \frac{G m M _{T}}{r _{2}} .$ On remplace $v_{p} = C / r_{1}$ et $v_{a} = C / r_{2}$ : $\frac{m C ^{2}}{2} (\frac{1}{r _{1}^{2}} - \frac{1}{r _{2}^{2}}) = G m M_{T} (\frac{1}{r _{1}} - \frac{1}{r _{2}}) .$ On factorise $\frac{1}{r _{1}^{2}} - \frac{1}{r _{2}^{2}} = (\frac{1}{r _{1}} - \frac{1}{r _{2}}) (\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}})$ , et l'on simplifie par $\frac{1}{r _{1}} - \frac{1}{r _{2}} \neq = 0$ : $C^{2} = \frac{2 G M _{T} r _{1} r _{2}}{r _{1} + r _{2}} .$ L'énergie au périgée vaut alors $E_{m} = \frac{m C ^{2}}{2 r _{1}^{2}} - \frac{G m M _{T}}{r _{1}} = \frac{G m M _{T}}{r _{1}} (\frac{r _{2}}{r _{1} + r _{2}} - 1) = - \frac{G m M _{T}}{r _{1} + r _{2}} .$ C'est $- G m M_{T} / (2 a)$ avec $2 a = r_{1} + r_{2}$ : on retrouve le résultat de l'exercice 5, et l'énergie de transfert est comprise entre celles des deux cercles.

3) Les vitesses aux apsides. De $v_{p} = C / r_{1}$ et de l'expression de $C^{2}$ : $v_{p} = \frac{2 G M _{T} r _{2}}{r _{1} ( r _{1} + r _{2} )} = v_{1} \frac{2 r _{2}}{r _{1} + r _{2}} = 10, 15 km s^{- 1}, v_{a} = v_{p} \frac{r _{1}}{r _{2}} = 1, 61 km s^{- 1} .$ On vérifie $v_{1} < v_{p} < 2 v_{1}$ (le satellite monte, mais reste lié) et $v_{a} < v_{2}$ (à l'apogée, il est trop lent pour le grand cercle).

4) Les deux allumages. Au périgée, sur l'orbite basse, on passe de $v_{1}$ à $v_{p}$ , dans la même direction (les deux vitesses sont orthoradiales, en même point) : $Δ v_{1} = v_{p} - v_{1} = 2, 43 km s^{- 1},$ poussée vers l'avant, dans le sens du mouvement. À l'apogée, on passe de $v_{a}$ à $v_{2}$ : $Δ v_{2} = v_{2} - v_{a} = 1, 47 km s^{- 1},$ poussée encore vers l'avant. Total : $Δ v_{1} + Δ v_{2} = 3, 89 km s^{- 1}$ . On accélère deux fois pour finir plus lentement qu'au départ ( $3, 07$ contre $7, 73 km s^{- 1}$ ) : entre les deux, l'ascension a converti l'énergie cinétique en énergie potentielle — c'est le paradoxe de l'exercice 7, vu dans l'autre sens. Parmi les transferts à deux impulsions entre deux cercles coplanaires, celui de Hohmann est le plus économe (pour des rapports de rayons supérieurs à $12$ environ, une manœuvre à trois impulsions peut faire mieux ; ici $r_{2} / r_{1} \approx 6, 3$ ) : on pousse là où la vitesse est déjà alignée avec l'effet recherché, sans jamais dépenser d'impulsion à changer de direction.

5) La durée. Le transfert est une demi-ellipse, parcourue du périgée à l'apogée : par symétrie de l'ellipse, ou plus simplement par la loi des aires, puisque la droite des apsides partage l'ellipse en deux moitiés d'aire égale, la durée est la moitié de la période. La troisième loi de Kepler, admise pour l'ellipse, avec $a = (r_{1} + r_{2}) /2 = 24421 km$ : $t_{transfert} = \frac{T}{2} = π \frac{a ^{3}}{G M _{T}} = 1, 90 \times 1 0^{4} s \approx 5, 3 h .$ C'est l'ordre de grandeur réel des « orbites de transfert géostationnaire » sur lesquelles les lanceurs déposent les satellites.

6) Le cas limite et le résultat. Quand $r_{2} \to + \infty$ : $Δ v_{1} = v_{1} (\frac{2 r _{2}}{r _{1} + r _{2}} - 1) ⟶ (2 - 1) v_{1} = 3, 20 km s^{- 1},$ et $Δ v_{2} = v_{2} - v_{a} \to 0$ , puisque $v_{2} = G M_{T} / r_{2} \to 0$ et $v_{a} = v_{p} r_{1} / r_{2} \to 0$ . L'énergie de transfert $- G m M_{T} / (r_{1} + r_{2})$ tend vers $0$ : l'ellipse devient la trajectoire d'énergie nulle, à la frontière entre état lié et état de diffusion. La vitesse au périgée tend vers $v_{1} + Δ v_{1} = 2 v_{1} = 2 G M_{T} / r_{1}$ : c'est la vitesse de libération à la distance $r_{1}$ . On retrouve le résultat du cours $v_{lib} = 2 v_{c}$ . Remarque inattendue : il faut moins d'incrément de vitesse pour quitter la Terre ( $3, 20 km s^{- 1}$ ) que pour se placer sur l'orbite géostationnaire ( $3, 89 km s^{- 1}$ ), parce que le second allumage, à l'apogée, coûte cher.

Homogénéité. $v_{1} 2 r_{2} / (r_{1} + r_{2})$ est une vitesse ; $G m M_{T} / (r_{1} + r_{2})$ est en $m^{3} s^{- 2} \cdot kg / m = J$ ; $a^{3} / (G M_{T})$ est en secondes. Autre cas limite : $r_{2} = r_{1}$ donne $v_{p} = v_{1}$ , $Δ v_{1} = Δ v_{2} = 0$ — rien à faire.

Le résultat établi — le transfert de Hohmann. Pour passer d'une orbite circulaire de rayon $r_{1}$ à une orbite circulaire coplanaire de rayon $r_{2} > r_{1}$ , on emprunte la demi-ellipse de demi-grand axe $a = (r_{1} + r_{2}) /2$ tangente aux deux cercles, d'énergie $- G m M_{T} / (r_{1} + r_{2})$ : deux poussées vers l'avant, $Δ v_{1} = v_{1} (\frac{2 r _{2}}{r _{1} + r _{2}} - 1)$ au périgée et $Δ v_{2} = v_{2} (1 - \frac{2 r _{1}}{r _{1} + r _{2}})$ à l'apogée, séparées d'une demi-période $π a^{3} / (G M_{T})$ . De l'orbite basse à l'orbite géostationnaire : $2, 43 + 1, 47 = 3, 89 km s^{- 1}$ en $5, 3$ heures ; vers l'infini, la première poussée devient la vitesse de libération.

Ce que le problème installe. La mécanique orbitale se fait avec les constantes du mouvement, pas en intégrant des équations : on écrit $C$ et $E_{m}$ aux apsides, on en tire l'énergie de l'orbite, et l'énergie fixe tout le reste — vitesses, demi-grand axe, durée. On retient aussi que, sur une orbite, on accélère pour monter et l'on monte en ralentissant : la relation $E_{c} = - E_{m}$ du cercle commande l'intuition.

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