Une orbite circulaire qui passe par le centre de force

La stratégie. On ne connaît pas la force, on connaît la trajectoire. Le cours donne l'outil qui fait le pont : la conservation du moment cinétique, qui relie la vitesse angulaire à la position, $\dot{\theta }=C/r^2$. Avec elle, toute dérivée temporelle se ramène à une dérivée par rapport à $\theta$, et l'accélération radiale se calcule sur la seule équation $r(\theta )$. C'est le principe newtonien : la trajectoire détermine la loi de force.

1) La constante des aires, puis $\dot{r}$ et $\ddot{r}$. La force est centrale de centre $O$ fixe, donc son moment en $O$ est nul : $\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{F}=r{\overrightarrow{u}}_r\wedge F(r){\overrightarrow{u}}_r=\overrightarrow{0}$. Le théorème du moment cinétique en $O$, dans le référentiel galiléen, donne $\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{L}}_O}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{0}$ : le moment cinétique est constant. En coordonnées polaires, ${\overrightarrow{L}}_O=m{r}^2\dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_z$, donc $C=r^2\dot{\theta }$ est constante.

On dérive l'équation de la trajectoire par rapport au temps, en dérivant la fonction composée $t\mapsto \theta (t)$ : $$\dot{r}=-2R\sin \theta \dot{\theta }=-\frac{2RC\sin \theta }{r^2}.$$ On dérive une seconde fois, en se souvenant que $r$ et $\theta$ dépendent tous deux du temps : $$\ddot{r}=-2RC\left(\frac{\cos \theta \dot{\theta }}{r^2}-\frac{2\sin \theta \dot{r}}{r^3}\right).$$ On remplace $\dot{\theta }$ par $C/r^2$ et $\dot{r}$ par l'expression précédente : $$\ddot{r}=-\frac{2R{C}^2\cos \theta }{r^4}-\frac{8R^2{C}^2{\sin }^2\theta }{r^5}.$$

2) L'accélération radiale et la force. On élimine $\theta$ grâce à l'équation de la trajectoire : $\cos \theta =\frac{r}{2R}$, donc ${\sin }^2\theta =1-\frac{r^2}{4R^2}$. Alors $$\ddot{r}=-\frac{C^2}{r^3}-\frac{8R^2{C}^2}{r^5}+\frac{2C^2}{r^3}=\frac{C^2}{r^3}-\frac{8R^2{C}^2}{r^5}.$$ Le terme $r{\dot{\theta }}^2$ vaut $r\cdot C^2/r^4=C^2/r^3$ : il compense exactement le premier terme, et $$a_r=\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2=-\frac{8C^2{R}^2}{r^5}.$$ La composante orthoradiale de l'accélération est nulle (c'est la conservation de $C$, puisque $a_{\theta }=\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r^2\dot{\theta })$). Le principe fondamental de la dynamique, projeté sur ${\overrightarrow{u}}_r$, donne $$F(r)=m{a}_r=-\frac{8m{C}^2{R}^2}{r^5}.$$ $F(r)<0$ : la force est attractive, et elle varie comme l'inverse de la puissance cinquième de la distance.

Homogénéité. $C=r^2\dot{\theta }$ s'exprime en ${\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$. Donc $m{C}^2{R}^2/r^5$ s'exprime en $\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^4{\mathrm{s}}^{-2}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{m}}^5=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ : c'est bien une force.

3) La vitesse, et ce qui se passe près de $O$. En polaires, $v^2={\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2$. Avec les expressions précédentes : $$v^2=\frac{4R^2{C}^2{\sin }^2\theta }{r^4}+\frac{C^2}{r^2}=\frac{C^2}{r^4}\left(4R^2{\sin }^2\theta +r^2\right)=\frac{C^2}{r^4}\left(4R^2{\sin }^2\theta +4R^2{\cos }^2\theta \right)=\frac{4C^2{R}^2}{r^4}.$$ Quand $M$ s'approche de $O$, $r\to 0$ et $v\to +\infty$. C'est la loi des aires poussée à sa limite : le rayon vecteur doit balayer l'aire à la vitesse constante $C/2$ ; or plus il est court, moins il balaie d'aire en tournant d'un angle donné, et il doit donc tourner de plus en plus vite. Et le point atteint $O$ en un temps fini : de $\theta =0$ à $\theta =\pi /2$, le rayon vecteur balaie un demi-disque, d'aire $\pi R^2/2$, en $\pi R^2/C$. En $O$ même, vitesse et force deviennent infinies : le modèle y cesse d'avoir un sens physique.

4) L'énergie. On vérifie : $-\frac{\mathrm{d}{\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}r}=-\frac{8m{C}^2{R}^2}{r^5}=F(r)$, et ${\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}\to 0$ à l'infini. La force est conservative, l'énergie mécanique se conserve, et $${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}m\cdot \frac{4C^2{R}^2}{r^4}-\frac{2m{C}^2{R}^2}{r^4}=0.$$ L'énergie mécanique est exactement nulle, c'est-à-dire égale à la valeur de l'énergie potentielle à l'infini.

Lecture sur l'énergie potentielle effective. Ici $${\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}(r)=\frac{m{C}^2}{2r^2}-\frac{2m{C}^2{R}^2}{r^4}.$$ Quand $r\to 0$, le terme en $-1/r^4$ l'emporte sur la barrière centrifuge : ${\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}\to -\infty$ ; quand $r\to +\infty$, elle tend vers $0$ par valeurs positives. Sa dérivée $-\frac{m{C}^2}{r^3}+\frac{8m{C}^2{R}^2}{r^5}$ s'annule en $r=2\sqrt{2}R$, où elle est maximale, de valeur $\frac{m{C}^2}{32R^2}>0$ : c'est une barrière, non un puits. Elle s'annule en $r=2R$, donc la région accessible avec ${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}=0$ est $0<r\le 2R$ : le mouvement radial est borné, l'apocentre est en $r=2R$, et rien n'empêche la chute sur le centre.

Le critère newtonien ne s'applique pas. Pour le champ newtonien, ${\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}$ est un puits qui remonte vers $0$ par valeurs négatives : l'état est lié si et seulement si ${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}<0$. Ici, la barrière positive change tout : un point d'énergie positive, mais inférieure à la hauteur $\frac{m{C}^2}{32R^2}$ de la barrière, reste piégé à l'intérieur s'il y est ; à l'inverse, un point de même énergie venant de l'infini rebondit sur l'extérieur de la barrière et repart à l'infini. Le caractère borné se lit sur le graphe de ${\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}^{\mathrm{eff}}$, et pas sur le seul signe de ${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}$ : le signe ne suffit que pour la forme particulière du puits newtonien.

Ce que l'exercice installe. La méthode « trajectoire $\Rightarrow$ force » : on élimine $\dot{\theta }$ par la constante des aires et l'on calcule $a_r=\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2$. C'est exactement ainsi que Newton, dans les Principia (livre I, proposition 7), a traité ce cercle, avant d'appliquer la même méthode à l'ellipse décrite autour d'un foyer, qui donne la force en $1/r^2$ : la loi de la gravitation est sortie de ce calcul. On retient aussi que la nature d'un mouvement radial se lit sur le graphe de l'énergie potentielle effective : une attraction qui croît plus vite que $1/r^3$ vers le centre l'emporte sur la barrière centrifuge et fait tomber le point sur le centre, ce que l'attraction newtonienne ne fait jamais quand $C\ne 0$.