L'embrayage : deux disques qui s'accouplent

La stratégie. Pour le système global, les frottements entre disques sont intérieurs : ils disparaissent du bilan de moment cinétique, pas du bilan d'énergie. Pour chaque disque, ils sont extérieurs et fixent la durée du phénomène.

1) Conservation du moment cinétique. Les actions extérieures au système {$D_1$ + $D_2$} sont les poids, de moment nul par rapport à $\Delta$ (les centres de masse sont sur l'axe), et les actions des liaisons pivot parfaites, de moment nul. Les couples de frottement entre garnitures sont intérieurs : le disque $D_1$ exerce sur $D_2$ un moment $+\Gamma$, et $D_2$ exerce sur $D_1$ le moment opposé $-\Gamma$ (actions réciproques). Leur somme est nulle. Le théorème scalaire du moment cinétique appliqué au système donne donc $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(J_1{\omega }_1+J_2{\omega }_2)=0.$$ Entre l'état initial (${\omega }_1={\omega }_0$, ${\omega }_2=0$) et l'état final (${\omega }_1={\omega }_2={\omega }_f$) : $$J_1{\omega }_0=(J_1+J_2){\omega }_f⟹{\omega }_f=\frac{J_1}{J_1+J_2}{\omega }_0.$$

2) Le bilan d'énergie. Les énergies cinétiques sont $${\mathcal{E}}_{c,i}=\frac{1}{2}{J}_1{\omega }_0^2,{\mathcal{E}}_{c,f}=\frac{1}{2}(J_1+J_2){\omega }_f^2=\frac{1}{2}\frac{J_1^2{\omega }_0^2}{J_1+J_2}.$$ Le rapport vaut ${\mathcal{E}}_{c,f}/{\mathcal{E}}_{c,i}=J_1/(J_1+J_2)<1$, donc la fraction perdue est $$\frac{{\mathcal{E}}_{c,i}-{\mathcal{E}}_{c,f}}{{\mathcal{E}}_{c,i}}=1-\frac{J_1}{J_1+J_2}=\frac{J_2}{J_1+J_2}.$$ L'énergie perdue a été dissipée par le frottement entre garnitures : elle chauffe les disques (c'est l'usure et l'échauffement d'un embrayage qu'on fait patiner). Le point important : le moment cinétique se conserve parce que les couples intérieurs ont des moments opposés ; l'énergie ne se conserve pas parce que leurs puissances ne sont pas opposées — elles valent $-\Gamma {\omega }_1$ et $+\Gamma {\omega }_2$, de somme $-\Gamma ({\omega }_1-{\omega }_2)<0$ tant que les disques glissent l'un sur l'autre.

3) La dynamique du glissement. On oriente $\Delta$ dans le sens de rotation initial. Pendant le glissement (${\omega }_1>{\omega }_2$), le frottement freine $D_1$ et entraîne $D_2$ : $$J_1{\dot{\omega }}_1=-\Gamma ,J_2{\dot{\omega }}_2=+\Gamma .$$ Les deux vitesses angulaires varient linéairement : ${\omega }_1(t)={\omega }_0-\Gamma t/J_1$, ${\omega }_2(t)=\Gamma t/J_2$. Elles deviennent égales à l'instant $\tau$ tel que ${\omega }_2(\tau )={\omega }_f$ : $$\tau =\frac{J_2{\omega }_f}{\Gamma }=\frac{J_1{J}_2}{J_1+J_2}\frac{{\omega }_0}{\Gamma }.$$ On vérifie que ${\omega }_1(\tau )={\omega }_0-\frac{J_2}{J_1+J_2}{\omega }_0={\omega }_f$, cohérent avec la question 1.

L'énergie dissipée est le travail du frottement dans le mouvement relatif : la puissance totale des deux couples intérieurs vaut $-\Gamma ({\omega }_1-{\omega }_2)$, et l'écart ${\omega }_1-{\omega }_2$ décroît linéairement de ${\omega }_0$ à $0$ en $\tau$. Le travail total est donc $$W=-\Gamma {\int }_0^{\tau }({\omega }_1-{\omega }_2)\mathrm{d}t=-\Gamma \frac{{\omega }_0\tau }{2}.$$ En remplaçant $\tau$ : $W=-\frac{J_1{J}_2}{J_1+J_2}\frac{{\omega }_0^2}{2}$, ce qui est exactement ${\mathcal{E}}_{c,f}-{\mathcal{E}}_{c,i}$. Remarque essentielle : ce résultat ne dépend pas de $\Gamma$. Brutal ou progressif, l'embrayage dissipe la même énergie ; seule la durée change.

4) Application numérique. $${\omega }_f=\frac{0,20}{0,25}\times 300=240\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1},$$ $${\mathcal{E}}_{c,i}=\frac{1}{2}\times 0,20\times 300^2=9,0\mathrm{kJ},{\mathcal{E}}_{c,f}=\frac{1}{2}\times 0,25\times 240^2=7,2\mathrm{kJ}.$$ La perte vaut $1,8\mathrm{kJ}$, soit $20\%=J_2/(J_1+J_2)=0,05/0,25$. La durée du glissement est $\tau =0,05\times 240/15=0,80\mathrm{s}$ ; pendant ce temps $D_1$ perd $\Gamma \tau /J_1=60\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, de $300$ à $240$, comme prévu. L'angle de glissement relatif vaut ${\omega }_0\tau /2=120\mathrm{rad}$, et $\Gamma \times 120=1,8\mathrm{kJ}$ : les deux calculs de l'énergie dissipée concordent. Ordre de grandeur : $1,8\mathrm{kJ}$ déposés en moins d'une seconde dans quelques centaines de grammes de garnitures, c'est un échauffement de plusieurs degrés à chaque embrayage.

5) L'analogue et les cas limites. C'est exactement le choc mou de deux points matériels : vitesse commune $m_1{v}_0/(m_1+m_2)$, fraction perdue $m_2/(m_1+m_2)$, avec le dictionnaire $J\leftrightarrow m$, $\omega \leftrightarrow v$, $L_{\Delta }\leftrightarrow p$. Si $J_2\ll J_1$, la perte tend vers $0$ et ${\omega }_f\to {\omega }_0$ : le petit disque est entraîné sans freiner le gros. Si $J_2\gg J_1$, presque toute l'énergie est perdue et ${\omega }_f\to 0$.

Ce que l'exercice installe. Le choix du système décide de ce qui est intérieur. Des couples intérieurs de moments opposés disparaissent du bilan de moment cinétique, mais pas du bilan d'énergie, parce que leur puissance dépend du mouvement relatif : un accouplement conserve $L_{\Delta }$ et dissipe de l'énergie, comme un choc mou.