L'essai de lâcher : identifier la loi de frottement et mesurer $J$

La stratégie. Moteur coupé, seul le frottement a un moment non nul par rapport à l'axe (pivot parfait par ailleurs) : le théorème scalaire du moment cinétique donne une équation du premier ordre en $\omega$ dont la forme dépend de la loi de frottement — et c'est cette forme qu'on lit sur la courbe.

1) Couple constant. $J\dot{\omega }=-\Gamma$ tant que $\omega >0$, donc la décélération est constante : $$\omega (t)={\omega }_0-\frac{\Gamma }{J}t,t_a=\frac{J{\omega }_0}{\Gamma }.$$ L'angle parcouru s'obtient en intégrant $\omega$ entre $0$ et $t_a$ (aire d'un triangle) : ${\theta }_a=\frac{1}{2}{\omega }_0{t}_a=\frac{J{\omega }_0^2}{2\Gamma }$. On peut le retrouver par le théorème de l'énergie cinétique : $0-\frac{1}{2}J{\omega }_0^2=-\Gamma {\theta }_a$, puisque la puissance du couple constant est $-\Gamma \omega$.

En régime permanent, le moteur compense exactement le frottement : ${\mathcal{P}}_0=\Gamma {\omega }_0$, d'où $\Gamma =5,4/300=0,018\mathrm{N}\mathrm{m}$. Le moment d'inertie vaut $J=\frac{1}{2}\times 0,40\times 0,060^2=7,2\times 10^{-4}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$. D'où une décélération $\Gamma /J=25\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-2}$, une durée d'arrêt $$t_a=\frac{300}{25}=12\mathrm{s},$$ et un angle ${\theta }_a=\frac{1}{2}\times 300\times 12=1,8\times 10^3\mathrm{rad}$, soit ${\theta }_a/(2\pi )\approx 286$ tours. C'est bien ce qu'on entend en lâchant la gâchette.

2) Couple visqueux. $J\dot{\omega }=-\lambda \omega$ : équation linéaire du premier ordre, de solution $$\omega (t)={\omega }_0{e}^{-t/\tau },\tau =\frac{J}{\lambda }.$$ Même décélération initiale : $\lambda {\omega }_0=\Gamma$, soit $\lambda =6,0\times 10^{-5}\mathrm{N}\mathrm{m}\mathrm{s}$ et $\tau =J{\omega }_0/\Gamma =12\mathrm{s}$ (la tangente à l'origine de l'exponentielle coupe l'axe des temps en $\tau$). Mais ici $\omega$ ne s'annule jamais : l'exponentielle tend vers zéro sans l'atteindre. L'angle total est néanmoins fini : $${\theta }_{\infty }={\int }_0^{+\infty }{\omega }_0{e}^{-t/\tau }\mathrm{d}t={\omega }_0\tau =3,6\times 10^3\mathrm{rad}\approx 573\text{tours},$$ le double du modèle A. Point délicat : « arrêt jamais atteint » ne veut pas dire « angle infini ». Pour descendre à $1\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, il faut déjà $\tau \ln 300\approx 68\mathrm{s}$.

3) Trancher sur la courbe. Le modèle A donne une droite $\omega (t)$, le modèle B une exponentielle, dont le logarithme est une droite : on trace $\omega (t)$ et $\ln \omega (t)$, et celle qui est rectiligne désigne le modèle. À $t=6\mathrm{s}$, le modèle A donne $\omega =300-25\times 6=150\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, le modèle B donne $300e^{-0,5}\approx 182\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $20\%$ d'écart, bien lisible. Des roulements à billes donnent plutôt la droite, un rotor freiné par l'air plutôt l'exponentielle ; en réalité les deux coexistent.

4) La mesure de $J$, indépendante du modèle. Avant la coupure, le couple moteur compense exactement le frottement ${\mathcal{M}}_f({\omega }_0)$, quelle que soit sa loi : ${\mathcal{P}}_0=-{\mathcal{M}}_f({\omega }_0){\omega }_0$. Juste après, $\omega$ n'a pas eu le temps de changer (elle est continue), le frottement vaut encore ${\mathcal{M}}_f({\omega }_0)$, et il agit seul : $$J\dot{\omega }(0^{+})={\mathcal{M}}_f({\omega }_0)=-\frac{{\mathcal{P}}_0}{{\omega }_0}⟹J=\frac{{\mathcal{P}}_0}{{\omega }_0|\dot{\omega }(0^{+})|}.$$ Numériquement, $J=5,4/(300\times 25)=7,2\times 10^{-4}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$, la valeur du disque. Homogénéité : $\mathrm{W}{\mathrm{s}}^3=\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2$. C'est la méthode industrielle de mesure du moment d'inertie d'un rotor de géométrie inconnue : une puissance électrique et une pente suffisent.

Ce que l'exercice installe. Le théorème scalaire du moment cinétique transforme une loi de frottement en une forme de courbe $\omega (t)$ : droite pour un couple constant, exponentielle pour un couple visqueux ; on identifie le modèle par la représentation qui rend la courbe rectiligne. Et couper le moteur donne $J$ sans connaître le frottement.