La balançoire à bras parallèles

La stratégie. On identifie d'abord le mouvement par la géométrie des liaisons ; une fois la translation reconnue, le siège se comporte comme un point de masse $M$, sans moment d'inertie.

1) Le parallélogramme et la translation. Le quadrilatère $A_1{A}_2{B}_2{B}_1$ a ses côtés opposés de même longueur deux à deux, $A_1{B}_1=A_2{B}_2=\ell$ et $A_1{A}_2=B_1{B}_2$, et ces longueurs restent constantes (barres rigides, siège solide) : initialement parallélogramme, il le reste (la configuration croisée n'est pas atteinte par un mouvement continu). Dans un parallélogramme, $\overrightarrow{B_1{B}_2}=\overrightarrow{A_1{A}_2}$ ; or $\overrightarrow{A_1{A}_2}$ est un vecteur fixe, lié à la poutre. Donc le vecteur $\overrightarrow{B_1{B}_2}$ est constant : un segment du siège garde direction et longueur fixes. Le mouvement est plan, et l'orientation d'un solide dans un mouvement plan est fixée par la direction d'un seul de ses segments : si $B_1{B}_2$ ne tourne pas, aucun segment du siège ne tourne. C'est la définition d'une translation.

La translation n'est pas rectiligne : le point $B_1$ décrit un arc de cercle de centre $A_1$ et de rayon $\ell$. Tout point du siège se déduit de $B_1$ par un vecteur constant : chaque point décrit un arc de cercle de rayon $\ell$, de centres translatés les uns des autres ; $G$ décrit l'arc de centre $C$ tel que $\overrightarrow{A_{1}C}=\overrightarrow{B_{1}G}$. C'est une translation circulaire, celle de la nacelle d'une grande roue.

2) Une seule vitesse. Pour tout point $P$ du siège, $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O{B}_1}+\overrightarrow{B_{1}P}$ avec $\overrightarrow{B_{1}P}$ constant. En dérivant, $\overrightarrow{v}(P)=\overrightarrow{v}(B_1)$ : tous les points ont la même vitesse que $B_1$. Or $B_1$ décrit un cercle de rayon $\ell$ à la vitesse angulaire $\dot{\theta }$, donc $\Vert \overrightarrow{v}(B_1)\Vert =\ell |\dot{\theta }|$. L'énergie cinétique du siège, somme des énergies cinétiques de ses points, vaut $${\mathcal{E}}_c=\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{v}^2=\frac{1}{2}M{\ell }^2{\dot{\theta }}^2.$$ Aucun moment d'inertie n'intervient parce que le siège ne tourne pas ; les barres tournent, mais elles sont de masse négligeable.

3) Équation du mouvement et période. Le système est {siège}. Les forces sont le poids et les actions des deux barres. Une barre sans masse articulée sans frottement à ses deux bouts exerce une force dirigée selon la barre, perpendiculaire à la vitesse de $B_k$ (tangente au cercle de centre $A_k$) : sa puissance est nulle. Seul le poids travaille ; il dérive de l'énergie potentielle $Mg{z}_G$. Avec $z_G=-\ell \cos \theta +\text{cte}$ (l'altitude de $G$ varie exactement comme celle de $B_1$), l'énergie mécanique s'écrit $${\mathcal{E}}_m=\frac{1}{2}M{\ell }^2{\dot{\theta }}^2-Mg\ell \cos \theta =\text{cte}.$$ En dérivant par rapport au temps et en simplifiant par $M{\ell }^2\dot{\theta }$ (hors des instants où $\dot{\theta }=0$, et l'équation obtenue s'étend par continuité) : $$\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$$ C'est l'équation du pendule simple de longueur $\ell$. Pour les petites oscillations, $\sin \theta \simeq \theta$ et la période vaut $$T_0=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}=2\pi \sqrt{\frac{2,0}{9,81}}\approx 2,84\mathrm{s}.$$ Elle ne dépend ni de la forme du siège, ni de sa masse, ni de la position de $G$ : toute la masse se déplace « en bloc » sur des cercles de rayon $\ell$. Ordre de grandeur : un peu moins de trois secondes pour un aller-retour, ce qu'on constate sur une balançoire de jardin.

4) Tensions au passage à la verticale. Au passage par $\theta =0$, $G$ est au point bas d'un cercle de rayon $\ell$ : son accélération est centripète, $v^2/\ell$ vers le haut ($\ddot{\theta }=0$ en ce point). Les barres sont verticales ; la loi de la quantité de mouvement projetée sur la verticale donne $$T_1+T_2-Mg=M\frac{v^2}{\ell }.$$ La conservation de l'énergie entre ${\theta }_0$ (vitesse nulle) et $\theta =0$ donne $\frac{1}{2}M{v}^2=Mg\ell (1-\cos {\theta }_0)$, soit $v^2/\ell =2g(1-\cos {\theta }_0)$. D'où $$T_1+T_2=Mg(3-2\cos {\theta }_0).$$ Application : pour $M=25\mathrm{kg}$ et ${\theta }_0=45^{\circ }$, $3-2\cos 45^{\circ }=3-\sqrt{2}\approx 1,59$, et $T_1+T_2\approx 3,9\times 10^2\mathrm{N}$, une fois et demie le poids ($245\mathrm{N}$). Cas limite : ${\theta }_0\to 0$ redonne $Mg$, l'équilibre. Pour ${\theta }_0=90^{\circ }$, on retrouve le $3Mg$ du pendule simple lâché à l'horizontale.

5) Une seule barre soudée. Si une seule barre est soudée au siège, le système {barre + siège} est un solide en rotation autour de l'axe fixe $A_1$ : l'angle de la barre et l'orientation du siège varient ensemble, le siège tourne sur lui-même. Ce n'est plus une translation. C'est un pendule pesant : il faut le moment d'inertie $J_{\Delta }$ par rapport à l'axe, et la période $2\pi \sqrt{J_{\Delta }/(Mgd)}$ dépend de la forme du siège.

Ce que l'exercice installe. Reconnaître le mouvement avant de l'étudier : une translation se démontre en exhibant un vecteur du solide qui reste constant, et elle peut être circulaire. En translation, le solide se réduit à un point de masse $M$ : ni moment d'inertie, ni théorème du moment cinétique. Le moment d'inertie n'apparaît que si le solide tourne sur lui-même, ce que distingue la question 5.