Le manège pour enfants — exercice corrigé de mécanique (PTSI) (chapitre 8)

Le manège pour enfants

Mouvement d'un solide · niveau 2

Énoncé

Un petit manège est un plateau circulaire homogène (disque) de masse $M = 1, 5 \times 1 0^{2} kg$ et de rayon $R = 1, 8 m$ . Au démarrage, un moteur exerce un couple constant $M = 40 Nm$ . La vitesse de croisière à atteindre est $ω_{c} = 2, 0 rad / s$ . On néglige les frottements.

Calculer le moment d'inertie $J$ du plateau.
Déterminer l'accélération angulaire $α$ au démarrage.
Au bout de combien de temps $t$ le manège atteint-il $ω_{c}$ ?
Quel angle (en tours) a-t-il décrit pendant cette phase ?

Corrigé

1. Disque homogène : $J = \frac{1}{2} M R^{2} = \frac{1}{2} \times 150 \times 1, 8^{2} = 2, 4 \times 1 0^{2} kg m^{2}$ .

2. Couple constant, sans frottement : $J α = M$ , d'où $α = \frac{M}{J} = \frac{40}{243} \approx 0, 16 rad / s^{2}$ .

3. $ω (t) = α t$ , donc $t = \frac{ω _{c}}{α} = \frac{J ω _{c}}{M} = \frac{243 \times 2 , 0}{40} \approx 12 s$ .

4. $θ = \frac{1}{2} α t^{2} = \frac{1}{2} ω_{c} t = \frac{1}{2} \times 2, 0 \times 12, 2 \approx 12 rad$ , soit $\frac{θ}{2 π} \approx 1, 9 tours$ .

Important

Ce que ça nous apprend. Un couple constant produit une accélération angulaire constante $α = M / J$ : plus le plateau est lourd et large (grand $J$ ), plus il démarre lentement. C'est l'analogue en rotation de la 2^e loi de Newton ( $J$ $\leftrightarrow$ masse, $M$ $\leftrightarrow$ force).