Le volant d'inertie (KERS)

La stratégie. On calcule $\frac{1}{2}J{\omega }^2$, puis on le réécrit en fonction de la vitesse de jante, la variable qui a un sens pour le matériau.

1) Les valeurs. $$\omega =\frac{2\pi N}{60}=\frac{2\pi \times 40000}{60}\approx 4,19\times 10^3\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1},J=\frac{1}{2}\times 5,0\times 0,10^2=2,5\times 10^{-2}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2,$$ $${\mathcal{E}}_c=\frac{1}{2}J{\omega }^2=\frac{1}{2}\times 2,5\times 10^{-2}\times (4,19\times 10^3{)}^2\approx 2,2\times 10^5\mathrm{J}.$$ La jante va à $v_{\text{j}}=R\omega \approx 419\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, plus vite que le son. L'énergie massique vaut $2,2\times 10^5/5,0\approx 44\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$.

2) Comparaison avec la voiture. $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}\times 800\times 20^2=1,6\times 10^5\mathrm{J}$. Le volant de cinq kilogrammes stocke davantage que l'énergie cinétique d'une monoplace de $800\mathrm{kg}$ lancée à $72\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$ : c'est précisément pourquoi il peut récupérer un freinage et le restituer.

3) Disque ou anneau. À masse et rayon donnés, le moment d'inertie est d'autant plus grand que la masse est loin de l'axe : $J_{\text{anneau}}=M{R}^2$ est le double de $J_{\text{disque}}=\frac{1}{2}M{R}^2$. À la même vitesse angulaire, l'anneau stocke donc deux fois plus : $4,4\times 10^5\mathrm{J}$.

4) L'énergie massique et la vitesse de jante. Avec $J={\kappa }^{\prime }M{R}^2$ (${\kappa }^{\prime }=\frac{1}{2}$ pour le disque, $1$ pour l'anneau) et $v_{\text{j}}=R\omega$ : $$\frac{{\mathcal{E}}_c}{M}=\frac{\frac{1}{2}{\kappa }^{\prime }M{R}^2{\omega }^2}{M}=\frac{1}{2}{\kappa }^{\prime }{v}_{\text{j}}^2,$$ soit $\kappa =\frac{1}{4}$ pour le disque et $\frac{1}{2}$ pour l'anneau. Homogénéité : $\mathrm{J}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}={\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}$. Ce résultat dit tout : l'énergie par kilogramme ne dépend que de la vitesse de jante, pas du rayon ni de la masse séparément. Alourdir le volant augmente l'énergie en proportion de la masse embarquée — ce qu'on veut éviter en course ; accélérer augmente l'énergie de chaque kilogramme comme $v_{\text{j}}^2$.

5) La limite du matériau. Si l'on ne peut pas accélérer indéfiniment, c'est que la jante doit retenir sa propre matière sur un cercle, et qu'il y faut une tension qui croît comme $v_{\text{j}}^2$. Avec $\sigma =\rho v_{\text{j}}^2\le {\sigma }_{\text{max}}$, l'énergie massique maximale d'un anneau vaut $$(\frac{{\mathcal{E}}_c}{M}{)}_{\text{max}}=\frac{1}{2}{v}_{\text{j,max}}^2=\frac{{\sigma }_{\text{max}}}{2\rho }.$$ Pour l'acier : $v_{\text{j,max}}=\sqrt{10^9/7800}\approx 3,6\times 10^2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et ${\sigma }_{\text{max}}/(2\rho )\approx 64\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$. Notre volant, à $419\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, dépasserait la limite s'il était un anneau d'acier ($\rho v_{\text{j}}^2\approx 1,4\mathrm{GPa}$) ; le disque plein répartit mieux les contraintes, mais la marge est faible. Pour le composite carbone : ${\sigma }_{\text{max}}/(2\rho )=2\times 10^9/3200\approx 6,3\times 10^5\mathrm{J}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, dix fois mieux, du même ordre qu'une batterie lithium-ion : les volants modernes sont en carbone, sous vide, dans un carter qui contient un éclatement. Le volant ne bat pas la batterie en énergie massique, mais en puissance : il encaisse ou restitue son énergie en quelques secondes.

Ce que l'exercice installe. L'énergie de rotation $\frac{1}{2}J{\omega }^2$ dépend de la répartition des masses. Réécrire le résultat avec la bonne variable — la vitesse de jante — révèle le vrai paramètre limitant, la résistance du matériau ; les ordres de grandeur comparés font la conclusion.