Non-isochronisme et « erreur circulaire » d'une horloge

La stratégie. On intègre numériquement avec une grande précision et l'on repère les instants où $\theta$ s'annule en décroissant ; leur écart est la période. On vérifie ainsi la formule de Borda du chapitre 3 et l'on mesure son domaine de validité.

1) Le script. On écrit le système du premier ordre $(\theta ,\omega )$, et l'on utilise la détection d'événements de solve_ivp : la fonction passage s'annule quand $\theta =0$, et direction = -1 ne retient que les passages où $\theta$ décroît, un par période.

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

w0 = 2.0                  # pulsation propre (rad/s)
T0 = 2*np.pi/w0

def champ(t, Y):
    theta, omega = Y
    return [omega, -w0**2*np.sin(theta)]

def passage(t, Y):        # theta = 0, en decroissant
    return Y[0]
passage.direction = -1

def periode(th0):
    sol = solve_ivp(champ, (0, 10*T0), [th0, 0.0],
                    events=passage, rtol=1e-11, atol=1e-12)
    tp = sol.t_events[0]  # un passage par periode
    return np.mean(np.diff(tp))

for th0 in (np.radians(5), 0.5, 1.0, 2.0, 3.0):
    r = periode(th0)/T0
    print(f"{th0:.3f} rad  T/T0 = {r:.5f}  Borda = {1+th0**2/16:.5f}")

Le script affiche :

0.087 rad  T/T0 = 1.00048  Borda = 1.00048
0.500 rad  T/T0 = 1.01585  Borda = 1.01562
1.000 rad  T/T0 = 1.06633  Borda = 1.06250
2.000 rad  T/T0 = 1.32890  Borda = 1.25000
3.000 rad  T/T0 = 2.57123  Borda = 1.56250

Le point délicat est la tolérance : avec celle par défaut de solve_ivp ($10^{-3}$ en relatif), l'erreur numérique serait du même ordre que l'effet à mesurer à $5^{\circ }$ ($5\times 10^{-4}$). En la desserrant à $10^{-9}$, les chiffres affichés ne bougent pas, et l'énergie mécanique reste constante à $10^{-9}$ près : le calcul est fiable.

2) La comparaison à Borda. La période augmente avec l'amplitude : c'est le non-isochronisme. À $5^{\circ }$, l'augmentation n'est que de $4,8\times 10^{-4}$, et Borda la reproduit à $2\times 10^{-7}$ près. À $1\mathrm{rad}$ ($57^{\circ }$), Borda donne $6,25\%$ au lieu de $6,63\%$ : l'ordre de grandeur est juste, la valeur à $0,4\%$ près. À $2\mathrm{rad}$, Borda annonce $25\%$ alors que l'augmentation vraie est de $33\%$ : l'erreur sur la période est de $6\%$, la formule n'est plus utilisable. C'est attendu d'un développement limité à l'ordre 2 en ${\theta }_0$. À $3\mathrm{rad}$, la période est multipliée par $2,6$ ; et quand ${\theta }_0\to \pi$, elle tend vers l'infini, comme le laissait prévoir la séparatrice ; aucun polynôme en ${\theta }_0$ ne rend compte de cette divergence.

3) L'erreur circulaire. Le balancier règle la marche : l'horloge compte des périodes. Si l'amplitude passe de $5^{\circ }$ à $4^{\circ }$, la période diminue, l'horloge bat plus vite et avance. L'écart relatif de période vaut, d'après Borda (parfaitement fiable à ces amplitudes) : $$\frac{T(5^{\circ })-T(4^{\circ })}{T}\simeq \frac{{\theta }_5^2-{\theta }_4^2}{16}=\frac{(25-16)}{16}(\frac{\pi }{180}{)}^2\approx 1,71\times 10^{-4}.$$ Sur un jour, soit $86400\mathrm{s}$, l'avance vaut $86400\times 1,71\times 10^{-4}\approx 15\mathrm{s}$ (le calcul numérique donne $14,8\mathrm{s}$). Par rapport à un pendule idéalement isochrone, une amplitude de $5^{\circ }$ fait perdre $41\mathrm{s}$ par jour ; ce retard constant se compense au réglage, mais sa variation avec l'amplitude ne se compense pas. Un quart de minute par jour, c'est énorme : d'où les petites amplitudes des balanciers, maintenues constantes par l'échappement.

4) La diminution de l'énergie mécanique. Avec le frottement, le théorème scalaire du moment cinétique donne $J_{\Delta }\ddot{\theta }=-mgd\sin \theta -\lambda \dot{\theta }$. On multiplie par $\dot{\theta }$ : $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\frac{1}{2}{J}_{\Delta }{\dot{\theta }}^2+mgd(1-\cos \theta )]=-\lambda {\dot{\theta }}^2\le 0.$$ L'énergie mécanique décroît, et elle est stationnaire aux extrémités. Dans le script, on remplace la dérivée de $\omega$ par -w0**2np.sin(theta) - 0.1omega et l'on calcule ${\mathcal{E}}_m/J_{\Delta }=\frac{1}{2}{\dot{\theta }}^2+{\omega }_0^2(1-\cos \theta )$. Depuis ${\theta }_0=1\mathrm{rad}$, on obtient pour ${\mathcal{E}}_m/{\mathcal{E}}_m(0)$, de $5$ en $5$ secondes : $1$ ; $0,62$ ; $0,38$ ; $0,23$ ; $0,14$ ; $0,08$ ; $0,05$. La décroissance est quasi exponentielle, avec un facteur proche de $e^{-0,5}\approx 0,61$ toutes les $5\mathrm{s}$, c'est-à-dire un temps caractéristique $J_{\Delta }/\lambda =10\mathrm{s}$ : sur une oscillation, l'énergie cinétique moyenne vaut à peu près la moitié de l'énergie mécanique, et $-\lambda \overline{{\dot{\theta }}^2}\simeq -(\lambda /J_{\Delta }){\mathcal{E}}_m$.

Ce que l'exercice installe. La capacité numérique du programme : intégrer une équation non linéaire, mesurer une période par détection d'événements, contrôler la précision, et délimiter le domaine de validité d'une formule approchée. Le non-isochronisme coûte un quart de minute par jour à une horloge, et $\mathrm{d}{\mathcal{E}}_m/\mathrm{d}t=-\lambda {\dot{\theta }}^2$ se lit sur le calcul comme sur l'équation.